【題目】如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn)),且EG、FH均過正方形的中心O.
(1)填空:OHOF (“>”、“<”、“=”);
(2)當(dāng)四邊形EFGH為矩形時(shí),請(qǐng)問線段AE與AH應(yīng)滿足什么數(shù)量關(guān)系;
(3)當(dāng)四邊形EFGH為正方形時(shí),AO與EH交于點(diǎn)P,求OP2+PHPE的最小值.
【答案】
(1)=
(2)
解:當(dāng)四邊形EFGH為矩形時(shí),∠HEF=90°,
∴∠AEH+∠BEF=90°,
在正方形ABCD中,∠HAE=∠EBF=90°,
∴∠AEH+∠AHF=90°,
∴∠AHE=∠BEF,
∴△AEH∽△BFE,
∴ = ,
令A(yù)E=x,AH=y,則BF=1﹣y,BE=1﹣x,
∴ = ,
即x﹣y=x2﹣y2=(x+y)(x﹣y),
∴x=y或x+y=1,
∴AE=AH,或AE+AH=1
(3)
解:如圖所示,當(dāng)四邊形EFGH為正方形時(shí),∠HOE=90°,OH=OE,
∴∠OEH=∠OHE=45°,
∴∠OHP=∠PAE=45°,
∵∠HPO=∠APE,
∴△OPH∽△EPA,
∴ = ,即PH×PE=OP×AP,
∴OP2+PH×PE=OP2+OP×AP=OP(OP+AP)=OP×OA,
∵∠OEP=∠OAE=45°,∠POE=∠EOA,
∴△OPE∽△OEA,
∴ = ,即OP×OA=OE2,
∴OP2+PH×PE=OE2,
∵當(dāng)OE⊥AB時(shí),OE最小,此時(shí)OE= ,
∴當(dāng)OE= 時(shí),OP2+PH×PE最小,且等于 .
【解析】解:(1)如圖所示,∵正方形ABCD,
∴AO=CO,∠OAH=∠OCF=45°,
又∵∠AOH=∠COF,
∴△AOH≌△COF,
∴OH=OF;
所以答案是:=;
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用相似三角形的應(yīng)用,掌握測(cè)高:測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度,通常用“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成比例”的原理解決;測(cè)距:測(cè)量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的舉例,常構(gòu)造相似三角形求解即可以解答此題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀以下材料: 2017年1月28日至2月1日農(nóng)歷正月初一至初五,平谷區(qū)政府在占地面積6萬平方米的琴湖公園舉辦主題為“逛平谷廟會(huì)樂百姓生活”的平谷區(qū)首屆春節(jié)廟會(huì).
本次廟會(huì)共設(shè)置了文藝展演區(qū)、非遺展示互動(dòng)區(qū)、特色商品區(qū)、兒童娛樂游藝區(qū)、特色美食區(qū)等五個(gè)不同主題的展區(qū).展區(qū)總面積1720平方米.文藝展演區(qū)占地面積600平方米,占展區(qū)總面積的34.9%;非遺展示區(qū)占地190平方米,占展區(qū)總面積的11.0%;特色商品區(qū)占地面積是文藝展演區(qū)的一半,占展區(qū)總面積的17.4%;特色美食區(qū)占地200平方米,占展區(qū)總面積的11.6%;還有孩子們喜愛的兒童娛樂游藝區(qū).
此次廟會(huì)本著弘揚(yáng)、挖掘、展示平谷春節(jié)及民俗文化,以京津冀不同地域的特色文化為出發(fā)點(diǎn),全面展示平谷風(fēng)土人情及津冀人文特色.大年初一,來自全國(guó)各地的約3.2萬人踏著新春的腳步,揭開了首屆平谷廟會(huì)的帷幕.大年初二盡管天氣寒冷,市民逛廟會(huì)熱情不減,又約有4.3萬人次參觀了廟會(huì),品嘗特色美食,觀看綠都古韻、秧歌表演、天橋絕活,一路猜燈謎、賞圖片展,場(chǎng)面火爆.琳瑯滿目的泥塑、木版畫、剪紙、年畫等民俗作品也讓游客愛不釋手,紛紛購(gòu)買.大年初三,單日接待游客約4萬人次,大年初四風(fēng)和日麗的天氣讓廟會(huì)進(jìn)入游園高峰,單日接待量較前日增長(zhǎng)了約50%.大年初五,活動(dòng)進(jìn)入尾聲,但廟會(huì)現(xiàn)場(chǎng)仍然人頭攢動(dòng),仍約有5.5萬人次來園參觀.
(1)直接寫出扇形統(tǒng)計(jì)圖中m的值;
(2)初四這天,廟會(huì)接待游客量約萬人次;
(3)請(qǐng)用統(tǒng)計(jì)圖或統(tǒng)計(jì)表,將廟會(huì)期間每日接待游客的人數(shù)表示出來.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,OA,OD是⊙O半徑,過A作⊙O的切線,交∠AOD的平分線于點(diǎn)C,連接CD,延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)E,交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)B
(1)求證:直線CD是⊙O的切線;
(2)如果D點(diǎn)是BC的中點(diǎn),⊙O的半徑為3cm,求 的長(zhǎng)度(結(jié)果保留π)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小紅同學(xué)在做作業(yè)時(shí),遇到這樣一道幾何題:
已知:AB∥CD∥EF,∠A=110°,∠ACE=100°,過點(diǎn)E作EH⊥EF,垂足為E,交CD于H點(diǎn).
(1)依據(jù)題意,補(bǔ)全圖形;
(2)求∠CEH的度數(shù).
小明想了許久對(duì)于求∠CEH的度數(shù)沒有思路,就去請(qǐng)教好朋友小麗,小麗給了他如圖2所示的提示:
請(qǐng)問小麗的提示中理由①是 ;
提示中②是: 度;
提示中③是: 度;
提示中④是: ,理由⑤是 .
提示中⑥是 度;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線y=x+n與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B(點(diǎn)A與點(diǎn)B不重合),拋物線y=﹣ x2﹣2x+c經(jīng)過點(diǎn)A、B,拋物線的頂點(diǎn)為C.
(1)∠BAO=°;
(2)求tan∠CAB的值;
(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)P,能夠使∠PCA=∠BAC?如果存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)對(duì)一種新售的手機(jī)進(jìn)行市場(chǎng)問卷調(diào)查,其中一個(gè)項(xiàng)目是讓每個(gè)人按A(不喜歡)、B(一般)、C(不比較喜歡)、D(非常喜歡)四個(gè)等級(jí)對(duì)該手機(jī)進(jìn)行評(píng)價(jià),圖①和圖②是該商場(chǎng)采集數(shù)據(jù)后,繪制的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)圖提供的信息,回答下列問題:
(1)本次調(diào)查的人數(shù)為多少人?A等級(jí)的人數(shù)是多少?請(qǐng)?jiān)趫D中補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.
(2)圖①中,a等于多少?D等級(jí)所占的圓心角為多少度?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明在某一次實(shí)驗(yàn)中,測(cè)得兩個(gè)變量之間的關(guān)系如下表所示:
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 12 | |
y | 12.03 | 5.98 | 3.03 | 1.99 | 1.00 |
請(qǐng)你根據(jù)表格回答下列問題:
①這兩個(gè)變量之間可能是怎樣的函數(shù)關(guān)系?你是怎樣作出判斷的?請(qǐng)你簡(jiǎn)要說明理由;
②請(qǐng)你寫出這個(gè)函數(shù)的解析式;
③表格中空缺的數(shù)值可能是多少?請(qǐng)你給出合理的數(shù)值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+2x+c經(jīng)過點(diǎn)A(0,3)、B(﹣1,0),請(qǐng)解答下列問題:
(1)求拋物線的解析式;
(2)拋物線的頂點(diǎn)為D,與x軸的另一交點(diǎn)為C,對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E,連接BD,求cos∠DBE;
(3)在直線BD上是否存在點(diǎn)F,使由B、C、F三點(diǎn)構(gòu)成的三角形與△BDE相似?若存在,求出點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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