Question

19．如圖1，△ABC中，∠ABC=60°，點(diǎn)E在邊BC上，且EA=EB．
（1）請(qǐng)先利用尺規(guī)作圖的方法找到點(diǎn)E，在圖1中標(biāo)出（保留作圖痕跡），再判斷此時(shí)△ABE的形狀是等邊三角形（直接寫出答案）；
（2）在圖1中，取AE的中點(diǎn)D，若AD=CE，連接CD并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)F，請(qǐng)先畫(huà)出圖形，再求∠CFA的度數(shù)；
（3）若∠ABC的大小不變，改變∠CAB的大小，得到圖2，將（2）中“點(diǎn)D是AE的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)D是AE上一點(diǎn)”，其他條件不變，猜想∠CFA與∠DBC的關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析 （1）作AB的垂直平分線交BC于E，連結(jié)AE，則EA=EB，而∠B=60°，則可判斷△AEC為等邊三角形；
（2）先證明EC=ED得到∠ECD=∠EDC，再利用等邊三角形的性質(zhì)得∠AEB=60°，利用三角形外角性質(zhì)得∠AEB=∠ECD+∠EDC，所以∠ECD=30°，然后再利用三角形外角性質(zhì)易得∠CFA=90°；
（3）作DM∥BC交AB于M，如圖B，由△ABE是等邊三角形得到∠AMD=60°，AD=DM=AM，則△DAM是等邊三角形，易得∠DEC=∠BMD=120°，接著證明DE=BM，于是可根據(jù)”SAS“判斷△DBM≌△CDE得到∠BDM=∠ECD，再證明∠CBD=∠BCF，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠CFA=∠ABC+∠BCF=60°+∠BCF=60°+∠DBC，即∠CFA-∠DBC=60°．

解答 解：（1）如圖1所示：△ABE是等邊三角形；理由如下：
∵EA=EB，∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形；
故答案為：等邊三角形；
（2）如圖1，∵AD=DE，AD=CE，
∴DE=CE，
∴∠ECD=∠EDC，
而∠AEB=∠ECD+∠EDC=60°，
∴∠ECD=30°，
∴∠CFA=∠B+∠BCF=60°+30°=90°；
（3）∠CFA-∠DBC=60°．理由如下：
作DM∥BC交AB于M，如圖2所示；
∵△ABE是等邊三角形，
∴∠AMD=60°，AD=DM=AM，
∴∴△DAM是等邊三角形，
∴∠DEC=∠BMD=120°，
∵DE=AE-AD，BM=AB-AM，
∴DE=BM，
在△DBM和△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}{DM=CE}&{\;}\\{∠DMB=∠CED}&{\;}\\{BM=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DBM≌△CDE（SAS），
∴∠BDM=∠ECD，
∵DM∥BC，
∴∠BDM=∠CBD，
∴∠CBD=∠BCF，
∵∠CFA=∠ABC+∠BCF=60°+∠BCF，
∴∠CFA=60°+∠DBC，
即∠CFA-∠DBC=60°

點(diǎn)評(píng) 本題是三角形綜合題目，考查了作圖-復(fù)雜作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形全等是解決問(wèn)題（3）的關(guān)鍵．