Question

如圖，在正方形ABCD中，AC、BD相交于點O，點E是AB延長線上一點，點F是邊AD上一點，BE=DF，連接EF，分別交AC、BD于點H、G，連接AG．若AB=3，F(xiàn)H：HE=1：2，則線段AG的長為

 

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質,正方形的性質

專題：

分析：過點F作FM⊥AD，交BD于M，過H作HN⊥AB于N，先證得DF=FM=BE，AN=HN，再證得△FMG≌△EBG，得出FG=EG，然后通過平行線分線段定理證得AN：AE=FH：FE，F(xiàn)A：HN=FE：EH，根據(jù)已知得出AN：AE=1：3，EH：AF=2：3，從而求得DF=BE的長，進而求得AF、BE的長，根據(jù)勾股定理求得EF，最后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可求得．

解答：解：過點F作FM⊥AD，交BD于M，過H作HN⊥AB于N，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴DA⊥AB，∠FDO=∠HAN=45°，
∴FM∥AE，HN∥AD，∠DMF=∠一半AHN=45°，
∴DF=FM，AN=HN，∠MFG=∠GEB，
∵DF=BE，
∴FM=BE，
在△FMG與△EBG中，

∠MFG=∠GEB ∠FGM=∠EGB FM=BE

，
∴△FMG≌△EBG（AAS），
∴FG=EG，
∵HN∥AD，
∴AN：AE=FH：FE，F(xiàn)A：HN=FE：EH，
∵FH：HE=1：2，AB=3，
∴FH：FE=1：3，F(xiàn)E：EH=3：2，
∴AN：AE=1：3，EH：AF=2：3，
設AN=HN=m，DF=BE=n，
∴

m

3+n

=

1

3

，

m

3-n

=

2

3

，
整理得：

3+n=3m 6-2n=3m

解得n=1，
∴DF=BE=1，
∴AF=3-1=2，AE=3+1=4，
∴EF=

42+22

=2

5

，
在RT△AEF中，F(xiàn)G=EG，
∴AG=

1

2

EF=

5

．

點評：本題考查了正方形的性質，等腰直角三角形的判定和性質，平行線分線段成比例定理，勾股定理的應用以及三角形全等的判定和性質；作出輔助線，構建等腰直角三角形和應用平行線成比例定理是本題的關鍵．