Question

如圖，已知拋物線y=-

1

4

x2-1．
（1）填空：拋物線的頂點坐標是（

 

，

 

），對稱軸是

 

；
（2）已知y軸上一點A（0，-2），點P在拋物線上，過點P作PB⊥x軸，垂足為B．若△PAB是等邊三角形，求點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，點M在直線AP上．在平面內(nèi)是否存在點 N，使以點O、點A、點M、點N為頂點的四邊形為菱形？若存在，直接寫出所有滿足條件的點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的解析式直接寫出其頂點坐標和對稱軸即可；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求得PB=4，將PB=4代入函數(shù)的解析式后求得x的值即可作為P點的橫坐標，代入解析式即可求得P點的縱坐標；
（3）首先求得直線AP的解析式，然后設(shè)出點M的坐標，利用勾股定理表示出有關(guān)AP的長即可得到有關(guān)M點的橫坐標的方程，求得M的橫坐標后即可求得其縱坐標，

解答：解：（1）由y=-

1

4

x2-1可知：
頂點坐標是（0，-1），對稱軸是y軸（或x=O）．

（2）∵△PAB是等邊三角形，
∴∠ABO=90°-60°=30°，
∴AB=20A=4，
∴PB=4，
把y=-4代入y=-

1

4

x²-1，
得  x=±2

3

，
∴P₁（2

3

，-4），P₂（-2

3

，-4）．  

（3）∵點A的坐標為（0，-2），點P的坐標為（2

3

，-4），
∴設(shè)線段AP所在直線的解析式為y=kx+b，
∴

b=-2 2 3 k+b=-4

解得：

k=- 3 3 b=-2

∴解析式為：y=-

3

3

x-2，
設(shè)存在點N使得OAMN是菱形，
∵點M在直線AP上，
∴設(shè)點M的坐標為：（m，-

3

3

m-2），
如圖1，作MQ⊥y軸于點Q，則MQ=m，AQ=OQ-OA=

3

3

m+2-2=

3

3

m，

∵四邊形OAMN為菱形，
∴AM=AO=2，
∴在直角三角形AMQ中，AQ²+MQ²=AM²，
即：m²+（

3

3

m）²=2²，
解得：m=±

3

代入直線AP的解析式求得y=-3或-1，
當P點在拋物線的右支上時，分為兩種情況：

當N在右圖2位置時，
∵OA=MN，
∴MN=2，
又∵M點坐標為（

3

，-3），
∴N點坐標為（

3

，-1），即N₁坐標為（

3

，-1）．

當N在右圖2位置時，
∵MN=OA=2，M點坐標為（-

3

，-1），
∴N點坐標為（-

3

，1），即N₂坐標為（-

3

，1）．
當P點在拋物線的左支上時，分為兩種情況：
第一種是當點M在線段PA上時（PA內(nèi)部）我們求出N點坐標為（-

3

，-1）；
第二種是當M點在PA的延長線上時（在第一象限）我們求出N點坐標為（

3

，1）；
∴存在N₁（

3

，-1），N₂（-

3

，1）N₃（-

3

，-1），N₄（

3

，1）使得四邊形OAMN是菱形；

點評：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是仔細讀題，并能正確的將點的坐標轉(zhuǎn)化為線段的長，本題中所涉及的存在型問題更是近幾年中考的熱點問題．