Question

對(duì)于0≤x≤100，用[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則[x]+[

5

3

x]的不同取值的個(gè)數(shù)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：取整計(jì)算

專題：分類討論

分析：可先求出n≤

5x

3

＜n+1（n為整數(shù)，0≤n≤165）時(shí)對(duì)應(yīng)的x的范圍及相應(yīng)的[x]+[

5

3

x]的值，再求出166≤

5x

3

≤

500

3

時(shí)[x]+[

5

3

x]的值，然后從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：0≤[x]+[

5

3

x]≤266，且[x]+[

5

3

x]≠8n-1（1≤n≤33，n為整數(shù)），由此就可求出[x]+[

5

3

x]的不同取值的個(gè)數(shù)．

解答：解：當(dāng)0≤

5x

3

＜1時(shí)，0≤x＜

3

5

，則有[

5

3

x]+[x]=0+0=0；
當(dāng)1≤

5x

3

＜2時(shí)，

3

5

≤x＜

6

5

，則有[

5

3

x]+[x]=1+0=1或1+1=2；
當(dāng)2≤

5x

3

＜3時(shí)，

6

5

≤x＜

9

5

，則有[

5

3

x]+[x]=2+1=3；
當(dāng)3≤

5x

3

＜4時(shí)，

9

5

≤x＜

12

5

，則有[

5

3

x]+[x]=3+1=4或3+2=5；
當(dāng)4≤

5x

3

＜5時(shí)，

12

5

≤x＜3，則有[

5

3

x]+[x]=4+2=6；
當(dāng)5≤

5x

3

＜6時(shí)，3≤x＜

18

5

，則有[

5

3

x]+[x]=5+3=8；
當(dāng)6≤

5x

3

＜7時(shí)，

18

5

≤x＜

21

5

，則有[

5

3

x]+[x]=6+3=9或6+4=10；
當(dāng)7≤

5x

3

＜8時(shí)，

21

5

≤x＜

24

5

，則有[

5

3

x]+[x]=7+4=11；
當(dāng)8≤

5x

3

＜9時(shí)，

24

5

≤x＜

27

5

，則有[

5

3

x]+[x]=8+4=12或8+5=13；
當(dāng)9≤

5x

3

＜10時(shí)，

27

5

≤x＜6，則有[

5

3

x]+[x]=9+5=14；
當(dāng)10≤

5x

3

＜11時(shí)，6≤x＜

33

5

，則有[

5

3

x]+[x]=10+6=16；
當(dāng)11≤

5x

3

＜12時(shí)，

33

5

≤x＜

36

5

，則有[

5

3

x]+[x]=11+6=17或11+7=18；
當(dāng)12≤

5x

3

＜13時(shí)，

36

5

≤x＜

39

5

，則有[

5

3

x]+[x]=12+7=19；
當(dāng)13≤

5x

3

＜14時(shí)，

39

5

≤x＜

42

5

，則有[

5

3

x]+[x]=13+7=20或13+8=21；
當(dāng)14≤

5x

3

＜15時(shí)，

42

5

≤x＜9，則有[

5

3

x]+[x]=14+8=22；
當(dāng)15≤

5x

3

＜16時(shí)，9≤x＜

48

5

，則有[

5

3

x]+[x]=15+9=24；
…
當(dāng)164≤

5x

3

＜165時(shí)，

492

5

≤x＜99，則有[

5

3

x]+[x]=164+98=262；
當(dāng)165≤

5x

3

＜166時(shí)，99≤x＜

498

5

，則有[

5

3

x]+[x]=165+99=264；
當(dāng)166≤

5x

3

≤

500

3

時(shí)，

498

5

≤x≤100，則有[

5

3

x]+[x]=166+99=265或166+100=266．
由此可發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：0≤[x]+[

5

3

x]≤266，且[x]+[

5

3

x]≠8n-1（1≤n≤33，n為整數(shù)），
則[x]+[

5

3

x]的不同取值的個(gè)數(shù)為267-33=234（個(gè)）．
故答案為：234．

點(diǎn)評(píng)：本題主要是對(duì)取整計(jì)算進(jìn)行考查，而解決本題的關(guān)鍵是對(duì)

5

3

x的范圍進(jìn)行合理分類，并從所得結(jié)果中發(fā)現(xiàn)取不到的正整數(shù)的規(guī)律．