【題目】閱讀下列材料,然后解決問題:
截長法與補短法在證明線段的和、差、倍、分等問題中有著廣泛的應用.具體的做法是在某條線段上截取一條線段等于某特定線段,或?qū)⒛硹l線段延長,使之與某特定線段相等,再利用全等三角形的性質(zhì)等有關(guān)知識來解決數(shù)學問題.
如圖1,在△ABC中,若AB=12,AC=8,求BC邊上的中線AD的取值范圍.
解決此問題可以用如下方法:延長AD到點E使DE=AD,再連接BE,把AB、AC、2AD集中在△ABE中.利用三角形三邊的關(guān)系即可得4<AE<20 ,則2<AD<10.
(1)問題解決:受到上題解法的啟發(fā),如圖2,在正方形ABCD中,已知:∠EAF=45°,角的兩邊AE、AF分別與BC、CD相交于點E、F,若BE=2,DF=3,求EF的長.可延長 CD到E′,使得DE′=BE,連接AE′,先證△ABE≌△ADE′,進一步證明 △AEF≌△AE′F , 即可得EF=E′F, 那么EF=_________.
(2)問題拓展:
如圖3,在⊙O中,AB、AD是⊙O的弦,且AB=AD,M、N是⊙O上的兩點,∠MAN=∠BAD.
①如圖4,連接MN、MD,求證:MH=BM+DH,DM⊥AN;
②若點C在(點C不與點A、D、N重合)上,連接CB、CD分別交AM、AN或其延長線于點E、F,直接寫出EF、BE、DF之間的等式關(guān)系.
【答案】(1)5;(2)①見解析,②EF=BE+DF或DF=EF+BE
【解析】
(1)根據(jù)題目給定的思路進行求解即可;
(2)①延長MD到點M′,使得DM′=BM,連接AM′,如圖5.仿照材料中的證明思路可證到AM=AM′,∠MAN=∠M′AN,然后利用等腰三角形的性質(zhì)即可解決問題.②分兩種情況討論:Ⅰ.當點C在上時,如圖1、2;Ⅱ.當點C在上時,如圖3.借鑒①中的證明思路就可得到結(jié)論.
(1)延長 CD到E′,使得DE′=BE,連接AE′,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=AB,∠B=∠ADC=90°,
∴∠AD E′=90°,
∵DE′=BE,
∴△ABE≌△ADE′,
∴AE′=AE,∠BAE=∠DA E′
∴∠E′AE=90°,
∵∠EAF=45°,
∴∠E′AF=45°,
∴∠E′AF=∠EAF,
在△AEF和△AE′F中,
,
∴ EF=E′F,
∵E′F=DE′+DF=BE+DF=2+3=5,
∴EF=5.
(2)①延長MD到點M′,使得DM′=BM,連接AM′,如圖5.
∵∠ADM′+∠ADM=180°,∠ABM+∠ADM=180°,
∴∠ABM=∠ADM′.
在△ABM和△ADM′中,
.
∴△ABM≌△ADM′(SAS).
∴AM=AM′∠BAM=∠DAM′.
∴∠MAM′=∠BAD.
∵∠MAN=∠BAD,
∴∠MAN=∠MAM′.
∴∠MAN=∠M′AN.
∵AM=AM′,∠MAN=∠M′AN,
∴MH=M′H,AH⊥MM′.
∴MH=M′H=DM′+DH=BM+DH,DM⊥AN.
②②Ⅰ.當點C在上時,如圖1、2.
同理可得:EF=BE+DF.
Ⅱ.當點C在上時,如圖3.
同理可得:DF=EF+BE..
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖數(shù)軸上A、B、C三點對應的數(shù)分別是a、b、7,滿足,,P為數(shù)軸上一動點,點P從A出發(fā),沿數(shù)軸正方向以每秒個單位長度的速度勻速運動,點Q從點C出發(fā)在射線CA上向點A勻速運動,且P、Q兩點同時出發(fā).
(1)求a、b的值
(2)當P運動到線段OB的中點時,點Q運動的位置恰好是線段AB靠近點B的三等分點,求點Q的運動速度
(3)在的條件下,當P、Q兩點間的距離是6個單位長度時,求OP的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知直線l上有一點O,點A、B同時從O出發(fā),在直線l上分別向左、向右作勻速運動,且A、B的速度比為1:2,設運動時間為ts.
(1)當t=2s時,AB=12cm.此時,
①在直線l上畫出A、B兩點運動2秒時的位置,并回答點A運動的速度是 cm/s; 點B運動的速度是 cm/s.
②若點P為直線l上一點,且PA﹣PB=OP,求的值;
(2)在(1)的條件下,若A、B同時按原速向左運動,再經(jīng)過幾秒,OA=2OB.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】求知中學有一塊四邊形的空地ABCD,如下圖所示,學校計劃在空地上種植草皮,經(jīng)測量∠A=90°,AB=3m,BC=12m,CD=13m,DA=4m,若每平方米草皮需要250元,問學校需要投入多少資金買草皮?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某景區(qū)的門票銷售分兩類:一類為散客門票,價格為元/張;另一類為團體門票(一次性購買門票張以上),每張門票價格在散客門票價格的基礎上打折,某班部分同學要去該景點旅游,設參加旅游人,購買門票需要元
(1)如果每人分別買票,求與之間的函數(shù)關(guān)系式:
(2)如果購買團體票,求與之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量的取值范圍;
(3)請根據(jù)人數(shù)變化設計一種比較省錢的購票方式.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某學校教學樓(甲樓)的頂部E和大門A之間掛了一些彩旗.小穎測得大門A距甲樓的距離AB是31cm,在A處測得甲樓頂部E處的仰角是31°.
(1)求甲樓的高度及彩旗的長度;(精確到0.01m)
(2)若小穎在甲樓樓底C處測得學校后面醫(yī)院樓(乙樓)樓頂G處的仰角為40°,爬到甲樓樓頂F處測得乙樓樓頂G處的仰角為19°,求乙樓的高度及甲乙兩樓之間的距離.(精確到0.01m)
(cos31°≈0.86,tan31°≈0.60,cos19°≈0.95,tan19°≈0.34,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在等腰直角三角形ABC中,D是AB的中點,E,F分別是AC,BC.上的點(點E不與端點A,C重合),且連接EF并取EF的中點O,連接DO并延長至點G,使,連接DE,DF,GE,GF
(1)求證:四邊形EDFG是正方形;
(2)直接寫出當點E在什么位置時,四邊形EDFG的面積最小?最小值是多少?
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