Question

已知a⁴+3a²=b²-3b=1，且a²b≠1，則

b3

a6b3+1

的值是

 

．

Answer 1

考點：分式的化簡求值

專題：

分析：把b²-3b=1的兩邊都除以b²并整理得到

1

b2

+

3

b

-1=0，然后判斷出a²，

1

b

是一元二次方程x²+3x-1=0的根，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到a²+

1

b

，a²•

1

b

，再根據(jù)立方和公式整理

a6b3+1

b3

=a⁶+

1

b3

，然后代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解．

解答：解：b²-3b-1=0兩邊除以-b²得，

1

b2

+

3

b

-1=0，
∵（a²）²+3a²-1=0，
∴a²和

1

b

是方程x²+3x-1=0的根，
由根與系數(shù)的關(guān)系得，a²+

1

b

=-3，
a²•

1

b

=-1，
∵

a6b3+1

b3

=a⁶+

1

b3

，
=（a²+

1

b

）（a⁴-a²•

1

b

+

1

b2

），
=（a²+

1

b

）[（a²+

1

b

）²-3a²•

1

b

]，
=（-3）×[（-3）²-3×（-1）]，
=（-3）×（9+3），
=-36，
∴

b3

a6b3+1

=-

1

36

．
故答案為：-

1

36

．

點評：本題考查了分式的化簡求值，根與系數(shù)的關(guān)系，把a²，

1

b

看作是一元二次方程x²+3x-1=0的根是解題的關(guān)鍵，難點在于利用立方和公式整理所求代數(shù)式的倒數(shù)．