Question

若兩個(gè)直角三角形的周長比等于一組對應(yīng)的直角邊之比，則這兩個(gè)三角形相似嗎？請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定

專題：常規(guī)題型

分析：如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，有勾股定理得AB=

a2+b2

，在△DEF中，∠E=90°，EF=ak，DE=x，有勾股定理得DF=

(ak)2+x2

，再利用兩個(gè)直角三角形的周長比等于一組對應(yīng)的直角邊之比得到

x+ak+ (ak)2+x2

b+a+ a2+b2

=

ak

a

=k，則x-bk+

(ak)2+x2

-k

a2+b2

=0，利用實(shí)數(shù)的性質(zhì)得到x-bk=0，即x=bk，于是由BC：FE=AC：DE，則可根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似得到△ACB∽△DEF．

解答：解：相似．理由如下：
如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，則AB=

a2+b2

，
在△DEF中，∠E=90°，EF=ak，DE=x，則DF=

(ak)2+x2

，
∵兩個(gè)直角三角形的周長比等于一組對應(yīng)的直角邊之比，
∴

x+ak+ (ak)2+x2

b+a+ a2+b2

=

ak

a

=k，
∴x+ak+

(ak)2+x2

=k（b+a+

a2+b2

），
∴x-bk+

(ak)2+x2

-k

a2+b2

=0，
∴x-bk=0，
∴x=bk，
∴BC：FE=AC：DE，
而∠ACB=∠DEF，
∴△ACB∽△DEF，
∴若兩個(gè)直角三角形的周長比等于一組對應(yīng)的直角邊之比，則這兩個(gè)三角形相似．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．