【答案】
分析:(1)根據(jù)路程公式直接寫(xiě)出PQ的長(zhǎng)度y;
(2)當(dāng)BP=1時(shí),有兩種情況:①點(diǎn)P從點(diǎn)M向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),通過(guò)計(jì)算可知,MP=MQ=3,即PQ=6,連接EM,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求EM=3
,此時(shí)EM=AB,重疊部分為△PEQ的面積;②點(diǎn)P從點(diǎn)B向點(diǎn)M運(yùn)動(dòng),此時(shí)t=5,MP=3,MQ=5,△PEQ的邊長(zhǎng)為8,過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AD于點(diǎn)H,在Rt△PHF中,已知PH,∠HPF=30°,可求FH、PF、FE,證明等邊△EFG中,點(diǎn)G與點(diǎn)D重合,此時(shí)重疊部分面積為梯形FPCG的面積;根據(jù)梯形面積公式求解;
(3)由圖可知,當(dāng)t=4時(shí),P、B重合,Q、C重合,線段AD被覆蓋長(zhǎng)度達(dá)到最大值,由(2)可知,當(dāng)t=5時(shí),線段EQ經(jīng)過(guò)D點(diǎn),長(zhǎng)度也是最大值,故t的范圍在4與5之間.
解答:解:(1)y=MP+MQ=2t;
(2)當(dāng)BP=1時(shí),有兩種情形:
①如圖1,若點(diǎn)P從點(diǎn)M向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),有MB=
=4,MP=MQ=3,
∴PQ=6.連接EM,
∵△EPQ是等邊三角形,∴EM⊥PQ.∴
.
∵AB=
,∴點(diǎn)E在AD上.
∴△EPQ與梯形ABCD重疊部分就是△EPQ,其面積為
.
②若點(diǎn)P從點(diǎn)B向點(diǎn)M運(yùn)動(dòng),由題意得t=5.
PQ=BM+MQ-BP=8,PC=7.
設(shè)PE與AD交于點(diǎn)F,QE與AD或AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,
過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AD于點(diǎn)H,
則HP=
,AH=1.
在Rt△HPF中,∠HPF=30°,
∴HF=3,PF=6.∴FG=FE=2.又∵FD=2,
∴點(diǎn)G與點(diǎn)D重合,如圖2.
此時(shí)△EPQ與梯形ABCD的重疊部分就是梯形FPCG,其面積為
.
(3)能,
此時(shí),4≤t≤5.
過(guò)程如下:
如圖,當(dāng)t=4時(shí),P點(diǎn)與B點(diǎn)重合,Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn),
此時(shí)被覆蓋線段的長(zhǎng)度達(dá)到最大值,
∵△PEQ為等邊三角形,
∴∠EPC=60°,
∴∠APE=30°,
∵
,
∴AF=3,BF=6,
∴EF=FG=2,
∴GD=6-2-3=1,
所以Q向右還可運(yùn)動(dòng)1秒,F(xiàn)G的長(zhǎng)度不變,
∴4≤t≤5.
點(diǎn)評(píng):本題考查了動(dòng)點(diǎn)與圖形面積問(wèn)題,需要通過(guò)題目的條件,分類討論,利用特殊三角形,梯形的面積公式進(jìn)行計(jì)算.