Question

20．已知：如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊BC、AB上，BD=AD=AC，AD與CE相交于點F，AE²=EF•EC．
（1）求證：∠ADC=∠DCE+∠EAF；
（2）求證：AF•AD=AB•EF．

Answer 1

分析 （1）根據等腰三角形的性質得到∠B=∠BAD，∠ADC=∠ACD，推出△EAF∽△ECA，根據相似三角形的性質得到∠EAF=∠ECA，于是得到∠ADC=∠ACD=∠ACE+∠ECB=∠DCE+∠EAF；
（2）根據相似三角形的性質得到$\frac{AE}{EF}=\frac{AC}{AF}$，即$\frac{AF}{EF}=\frac{AC}{AE}$，推出△FAE∽△ABC，根據相似三角形的性質得到$\frac{FA}{AB}=\frac{EF}{AC}$，于是得到FA•AC=EF•AB，等量代換即可得到結論．

解答 證明：（1）∵BD=AD=AC，
∴∠B=∠BAD，∠ADC=∠ACD，
∵AE²=EF•EC，
∴$\frac{AE}{CE}=\frac{EF}{AE}$，
∵∠E=∠E，
∴△EAF∽△ECA，
∴∠EAF=∠ECA，
∴∠ADC=∠ACD=∠ACE+∠ECB=∠DCE+∠EAF；

（2）∵△EAF∽△ECA，
∴$\frac{AE}{EF}=\frac{AC}{AF}$，即$\frac{AF}{EF}=\frac{AC}{AE}$，
∵∠EFA=∠BAC，∠EAF=∠B，
∴△FAE∽△ABC，
∴$\frac{FA}{AB}=\frac{EF}{AC}$，
∴FA•AC=EF•AB，
∵AC=AD，
∴AF•AD=AB•EF．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，三角形的外角的性質，證得△EAF∽△ECA是解題的關鍵．