【題目】如圖,拋物線x軸交于A(﹣40)、B2,0)兩點(diǎn),與y軸交于CM為此拋物線的頂點(diǎn).

1)求此拋物線的函數(shù)解析式;

2)動直線l從與直線AC重合的位置出發(fā),繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn),與直線AB重合時終止運(yùn)動,直線lBC交于點(diǎn)D,P是線段AD的中點(diǎn).

①直接寫出點(diǎn)P所經(jīng)過的路線長為   ;

②點(diǎn)DB、C不重合時,過點(diǎn)DDEAC于點(diǎn)E,作DFAB于點(diǎn)F,連接PE、PFEF,在旋轉(zhuǎn)過程中,求EF的最小值;

3)將拋物線C1平移得到拋物線C2,已知拋物線C2的頂點(diǎn)為N,與直線AC交于EF兩點(diǎn),若EFAC,求直線MN的解析式.

【答案】1y=﹣x2x+4;(2)①;②;(3yx+

【解析】

1)將點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可解決問題;
2)①易得點(diǎn)P運(yùn)動的路徑是△ABC的中位線P1P2,只需運(yùn)用勾股定理求出BC長,然后運(yùn)用三角形中位線定理就可解決問題;②根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得PE=PA=PD=PF,由此可得點(diǎn)A、E、D、F在以點(diǎn)P為圓心,為半徑的圓上,根據(jù)圓周角定理可得∠EPF=2EAF.易得∠EAF=45°,則有∠EPF=90°,根據(jù)勾股定理可得,根據(jù)點(diǎn)到直線之間垂線段最短可得當(dāng)ADBC時,AD最小,此時EF最小,然后只需運(yùn)用面積法求出此時AD的值,即可得到EF的最小值;
3)運(yùn)用待定系數(shù)法可求得直線AC的解析式為y=x+4,由EF=AC可得MNAC,從而可設(shè)直線MN的解析式為y=x+t,然后只需求出拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo),把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入y=x+t即可解決問題.

解:(1)∵拋物線 x軸交于A(﹣4,0)、B2,0)兩點(diǎn),

,

解得 ,

∴拋物線的解析式為y=﹣x2x+4;

2)①在RtBOC中,

∵點(diǎn)D是線段BC一點(diǎn),P是線段AD的中點(diǎn),

∴點(diǎn)P運(yùn)動的路徑是ABC的中位線P1P2,如圖1,

故答案為:;

②如圖2

DEAC,DFAB,P是線段AD的中點(diǎn),

PEPAPDPF

∴點(diǎn)A、ED、F在以點(diǎn)P為圓心,為半徑的圓上,

∴∠EPF2EAF

OAOC4,∠AOC90°,

∴∠CAO=∠ACO45°,

∴∠EPF90°,

根據(jù)點(diǎn)到直線之間,垂線段最短可得:

當(dāng)ADBC時,AD最小,此時EF最小,

此時,

解得:,

此時

EF的最小值為;

3)如圖3

設(shè)直線AC的解析式為ymx+n,

則有 ,

解得: ,

∴直線AC的解析式為yx+4

EFAC可得MNAC

可設(shè)直線MN的解析式為yx+t

∵點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn),

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(﹣1, ),

M(﹣1)代入yx+t,得

1+t,

解得t

∴直線MN的解析式為yx+

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A. D點(diǎn)出發(fā),沿弧DA→AM→線段BM→線段BC

B. B點(diǎn)出發(fā),沿線段BC→線段CN→ND→DA

C. A點(diǎn)出發(fā),沿弧AM→線段BM→線段BC→線段CN

D. C點(diǎn)出發(fā),沿線段CN→ND→DA→線段AB

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(1)求拋物線的函數(shù)解析式;

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