Question

【題目】如圖，O是正△ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA＝3，OB＝4，OC＝5，將線段BO以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′，下列結(jié)論：①△BO′A可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到；②點(diǎn)O與O′的距離為4；③∠AOB＝150°；④S四邊形AOBO′＝6＋3．其中正確的結(jié)論有（ ）

A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)

Answer 1

【答案】C

【解析】

證明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′=60°，所以△BO′A可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，故結(jié)論①正確；由△OBO′是等邊三角形，可知結(jié)論②正確；在△AOO′中，三邊長(zhǎng)為3，4，5，這是一組勾股數(shù)，故△AOO′是直角三角形；進(jìn)而求得∠AOB=150°，故結(jié)論③正確；S四邊形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=×3×4+×42=6+4，故結(jié)論④錯(cuò)誤．

如圖，

由題意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，

∴∠1=∠3，

又∵OB=O′B，AB=BC，

∴△BO′A≌△BOC，

又∵∠OBO′=60°，

∴△BO′A可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，

故結(jié)論①正確；

如圖，連接OO′，

∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，

∴△OBO′是等邊三角形，

∴OO′=OB=4，

故結(jié)論②正確；

∵△BO′A≌△BOC，

∴O′A=5，

在△AOO′中，三邊長(zhǎng)為3，4，5，這是一組勾股數(shù)，

∴△AOO′是直角三角形，且∠AOO′=90°，

∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，

故結(jié)論③正確；

S四邊形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=×3×4+×42=6+4，

故結(jié)論④錯(cuò)誤；

故選：C．