Question

1．如圖，正方形ABCD，E，F(xiàn)分別為BC、CD邊上一點．
①若∠EAF=45°，求證：EF=BE+DF；
②若△AEF繞A點旋轉(zhuǎn)，保持∠EAF=45°，問△CEF的周長是否隨△AEF位置的變化而變化？

Answer 1

分析 ①先根據(jù)正方形的性質(zhì)得AB=AD，∠BAD=∠B=90°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE′=AE，DE′=BE，∠E′AE=90°，∠ADE′=∠ADC=90°，證出∠E′AF=∠EAF，由SAS證明△E′AF≌△EAF，得出E′F=EF，即可得出結(jié)論；
②△CEF的周長=CE+CF+EF=CE+CF+BE+DF=CB+CD，即可得出結(jié)論．

解答 ①證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD=CB=CD，∠BAD=∠B=90°，
∵把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°可得到△ADE′，
∴AE′=AE，DE′=BE，∠E′AE=90°，∠ADE′=∠ADC=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠E′AF=∠E′AE-∠EAF=45°，
∴∠E′AF=∠EAF，
在△E′AF和△EAF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE′=AE}&{\;}\\{∠E′AF=∠EAF}&{\;}\\{AF=AF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△E′AF≌△EAF（SAS），
∴E′F=EF，
∵E′F=DE′+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
②解：不變化；理由如下：
△CEF的周長=CE+CF+EF=CE+CF+BE+DF=CB+CD．
∴△CEF的周長不隨△AEF位置的變化而變化．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識；熟練掌握旋轉(zhuǎn)和正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．