Question

11．問(wèn)題背景
（1）如圖，△ABC中，DE∥BC分別交AB，AC于D，E兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB交BC于點(diǎn)F．請(qǐng)按圖示數(shù)據(jù)填空：四邊形DBFE的面積S=6，△EFC的面積S₁=9，△ADE的面積S₂=1
探究發(fā)現(xiàn)
（2）在（1）中，若BF=a，F(xiàn)C=b，DE與BC間的距離為h．請(qǐng)證明S²=4S₁S₂．
拓展遷移
（3）如圖，?DEFG的四個(gè)頂點(diǎn)在△ABC的三邊上，若△ADG、△DBE、△GFC的面積分別為2、5、3，試?yán)�用�?）中的結(jié)論求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形面積公式、三角形面積公式，相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．
（2）根據(jù)平行四邊形面積公式、三角形面積公式，相似三角形的性質(zhì)，分別求出S₁、S₂即可解決問(wèn)題．
（3）過(guò)點(diǎn)G作GH∥AB交BC于H，則四邊形DBHG為平行四邊形，利用（2）的結(jié)論求出□DBHG的面積，△GHC的面積即可．

解答 解：（1）∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四邊形DBFE是平行四邊形，
∴S=2×3=6，S₁=$\frac{1}{2}$×6×3=9，
∴∠AED=∠C，∠A=∠CEF
∴△ADE∽△EFC
∴$\frac{{s}_{2}}{{s}_{1}}$=（$\frac{DE}{CF}$）²=$\frac{1}{9}$，
∴S₂=1，
故答案為6，9，1．

（2）證明：∵DE∥BC，EF∥AB
∴四邊形DBFE為平行四邊形，
∴∠AED=∠C，∠A=∠CEF
∴△ADE∽△EFC．
∴$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$=（$\frac{DE}{FC}$）²=$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$，
∵S₁=$\frac{1}{2}$bh，
∴S₂=$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$×S₁=$\frac{{a}^{2}h}{2b}$，
∴4S₁S₂=4×$\frac{1}{2}$bh×$\frac{{a}^{2}h}{2b}$=（ah）²而S=ah，
∴S²=4S₁S₂．

（3）解：過(guò)點(diǎn)G作GH∥AB交BC于H，則四邊形DBHG為平行四邊形．

∴∠GHC=∠B，BD=HG，DG=BH，
∵四邊形DEFG為平行四邊形，
∴DG=EF．
∴BH=EF．
∴BE=HF，
∴△DBE≌△GHF．
∴△GHC的面積為5+3=8．
由（2）得，□DBHG的面積為$\sqrt{4×2×8}$=8，
∴△ABC的面積為2+8+8=18．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的思想，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的題型，屬于中考?jí)狠S題，