Question

如圖，直線（b＞0）與雙曲線(＞0)交于A、B兩點(diǎn)，連接OA、OB， AM⊥軸于M，BN⊥X軸于N；有以下結(jié)論：①OA =OB；②△AOM≌△BON；③若∠AOB=45°，則S_△AOB=k；④AB=時(shí)，ON=BN=1，其中結(jié)論正確的是（    ）

A. ①②③④           B. ①②③           C. ①②          D. ①②④

 

Answer 1

【答案】

A

【解析】

試題分析：①②設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立與，得x²-bx+k=0，則x₁?x₂=k，又x₁?y₁=k，比較可知x₂=y₁，同理可得x₁=y₂，即ON=OM，AM=BN，可證結(jié)論；

③作OH⊥AB，垂足為H，根據(jù)對(duì)稱性可證△OAM≌△OAH≌△OBH≌△OBN，可證S_△AOB=k；

④延長(zhǎng)MA，NB交于G點(diǎn)，可證△ABG為等腰直角三角形，當(dāng)AB=時(shí)，GA=GB=1，則ON-BN=GN-BN=GB=1.

A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入中，得x₁?y₁=x₂?y₂=k，

聯(lián)立與，得x²-bx+k=0，

則x₁?x₂=k，又x₁?y₁=k，

∴x₂=y₁，

同理x₂?y₂=k，

可得x₁=y₂， 

∴ON=OM，AM=BN，

∴①OA=OB，②△AOM≌△BON，正確；

③作OH⊥AB，垂足為H，

∵OA=OB，∠AOB=45°，

∵②△AOM≌△BON，正確；

∴∠MOA=∠BON=22.5°，

∠AOH=∠BOH=22.5°，

∴△OAM≌△OAH≌△OBH≌△OBN，

∴S_△AOB=S_△AOH+S_△BOH=S_△AOM+S_△BON=k+k=k，正確；

④延長(zhǎng)MA，NB交于G點(diǎn)

 

∵NG=OM=ON=MG，BN=AM，

∴GB=GA，

∴△ABG為等腰直角三角形，

當(dāng)AB=時(shí)，GA=GB=1，

∴ON-BN=GN-BN=GB=1，正確．

正確的結(jié)論有①②③④．

故選A．

考點(diǎn)：反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用

點(diǎn)評(píng)：解題的關(guān)鍵是明確反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性．