Question

【題目】如圖，已知、兩點(diǎn)是直線與軸的正半軸，軸的正半軸的交點(diǎn)，如果，的長(zhǎng)分別是x2-14x+48=0的兩個(gè)根，射線平分交軸于點(diǎn)，

（1）求，的長(zhǎng)．

（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)．

（3）在坐標(biāo)平面內(nèi)找點(diǎn)，使，，，四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）的長(zhǎng)是，的長(zhǎng)是；（2）；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)是、或．

【解析】

（1）由，的長(zhǎng)分別是x2-14x+48=0的兩個(gè)根，可以解一元二次方程求出和的長(zhǎng)度.

（2）作垂直于，利用角平分線定理并設(shè)，利用建立含x的等量關(guān)系方程，從而求得C的坐標(biāo).

（3）首先肯定存在這樣的Q點(diǎn)，運(yùn)用四邊形ABCQ為平行四邊形時(shí)當(dāng)、交于點(diǎn)，、交于點(diǎn)，、交于點(diǎn)，分別設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，從而分析求值.

由，

解得或，

∵ ，

∴ ，，

即的長(zhǎng)是，的長(zhǎng)是．

∵ 射線平分交軸于點(diǎn)，作垂直于，如圖所示：

根據(jù)角平分線性質(zhì)得，，

設(shè)，則，

在中，，

，

，

解得，即.

如圖，、交于點(diǎn)，

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，

∵ ，

∴ ①，

∵ 四邊形是平行四邊形，

∴ 點(diǎn)是、的中點(diǎn)，

∴ ②，

由①②，可得

∴ 點(diǎn)的坐標(biāo)是．

如圖，、交于點(diǎn)，

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，

∵ ，

∴ ，

∵ 四邊形是平行四邊形，

∴ 點(diǎn)是、的中點(diǎn)，

∴ ，

解得，

∴ 點(diǎn)的坐標(biāo)是．

如圖，、交于點(diǎn)，

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，

∵ ，

∴ ，

∵ 四邊形是平行四邊形，

∴ 點(diǎn)是、的中點(diǎn)，

∴ ，

解得，

∴ 點(diǎn)的坐標(biāo)是．

綜上，可得點(diǎn)的坐標(biāo)是、或．