Question

【題目】在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB邊向點(diǎn)B以每秒2cm的速度移動，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)沿DA邊向點(diǎn)A以每秒1cm的速度移動，P、Q其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒．回答下列問題：

(1)如圖①，幾秒后△APQ的面積等于5cm2．

(2)如圖②，若以點(diǎn)P為圓心，PQ為半徑作⊙P．在運(yùn)動過程中，是否存在t值，使得點(diǎn)C落在⊙P上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

(3)如圖③，若以Q為圓心，DQ為半徑作⊙Q，當(dāng)⊙Q與AC相切時(shí)

①求t的值．

②如圖④，若點(diǎn)E是此時(shí)⊙Q上一動點(diǎn)，F是BE的中點(diǎn)，請直接寫出CF的最小值．

Answer 1

【答案】(1)1秒后△APQ的面積為5；(2)當(dāng)t＝﹣10+2時(shí)，點(diǎn)C落在⊙P上；(3)①；②CF的最小值為．

【解析】

（1）利用三角形的面積公式構(gòu)建方程即可解決問題．

（2）如圖②中，連接PC，根據(jù)PQ=PC，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題．

（3）①如圖③中，設(shè)⊙Q與AC相切于點(diǎn)H，連接QH．在Rt△AQH中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題．

②如圖④中，連接QE，BQ，取BQ的中點(diǎn)M，連接FM，CM，作MN⊥CD于N．求出CM，MF，根據(jù)CF≥CM-MF可即可解決問題．

(1)由題意：AP＝2t，DQ＝t．則AQ＝6﹣t．

則×2t(6﹣t)＝5，

整理得t2﹣6t+5＝0，

解得t＝1或5(舍棄)，

∴1秒后△APQ的面積為5．

(2)如圖②中，連接PC．

∵⊙P經(jīng)過點(diǎn)C，

∴PQ＝PC，

∵PA2+AQ2＝PB2+BC2，

∴4t2+(6﹣t)2＝(8﹣2t)2+62，

解得t＝﹣10+2或﹣10﹣2 (舍棄)，

∴當(dāng)t＝﹣10+2時(shí)，點(diǎn)C落在⊙P上．

(3)①如圖③中，設(shè)⊙Q與AC相切于點(diǎn)H，連接QH．

∵CD、CH是圓的切線，

∴CD＝CH＝8，

∵QD＝QH＝t，AC＝＝10，

∴AH＝2，

∵QH⊥AC，

∴∠AHQ＝90°，

∴AQ2＝HQ2+AH2，

∴(6﹣t)2＝t2+22，

∴t＝，

∴t＝時(shí)，⊙Q與AC相切．

②如圖④中，連接QE，BQ，取BQ的中點(diǎn)M，連接FM，CM，作MN⊥CD于N．

∵M(jìn)Q＝MB，FB＝FE，

∴FMEQ＝DQ＝，

∵AD∥MN∥BC，QM＝MB，

∴DN＝NC＝4，MN＝ (DQ+BC)＝，

∴CM＝＝＝，

∵CF≥CM﹣FN，

∴CF≥，

∴CF的最小值為．