Question

已知：如圖，在⊙O中，AB，CD是兩條直徑，M為OB上一點(diǎn)，CM的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E，連結(jié)DE．
（1）求證：AM•MB=EM•MC；
（2）若M為OB的中點(diǎn)，AB=16，DE=2

15

時(shí)，求MC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）首先連接AC，EB，易證得△AMC∽△EMB，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可證得AM•MB=EM•MC；
（2）由CD是直徑，可得∠DEC=90°，然后由勾股定理求得EC的長(zhǎng)，設(shè)CM=x，則EM=14-x，由AM•MB=EM•MC；可得方程12×4=x（14-x），解此方程即可求得答案．

解答：（1）證明：連接AC，EB，…（1分）
則∠CAM=∠BEM，…（1分）
又∵∠AMC=∠EMB，
∴△AMC∽△EMB，…（1分）
∴

AM

EM

=

MC

MB

，
即AM•MB=EM•MC；…（2分）

（2）解：∵DC為⊙O的直徑，
∴∠DEC=90°，…（1分）
∴EC=

DC2-DE2

=

162-(2 15 )2

=14，…（1分）
∵OA=OB=5，M為OB的中點(diǎn)，
∴AM=12，BM=4．
設(shè)CM=x，則EM=14-x．
由（1）AM•MB=EM•MC，
得 12×4=x（14-x），…（1分）
解得：x₁=6，x₂=8，
∴CM=6或8． …（2分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．