Question

【題目】如圖，直線y1=﹣ x+2與x軸，y軸分別交于B，C，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A，B，C，點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣1，0）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，連接CD，點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形PCDB的面積最大？求出此時(shí)四邊形PCDB面積的最大值和點(diǎn)P坐標(biāo)；
（3）在拋物線上的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)Q，使△QCD是以CD為腰的等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令x=0，可得y=2，

令y=0，可得x=4，

即點(diǎn)B（4，0），C（0，2）；

設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c，

將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入解析式得，

，

解得： ，

即該二次函數(shù)的關(guān)系式為y=﹣ x2+ x+2；

（2）

解：如圖1，過點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N，交BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CE⊥PN于E，

設(shè)M（a，﹣ a+2），P（a，﹣ a2+ a+2），

∴PM=﹣ a2+ a+2﹣（﹣ a+2）=﹣ a2+2a（0≤x≤4）．

∵y=﹣ x2+ x+2=﹣ （x﹣ ）2+ ，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（ ，0），

∵S四邊形PCDB=S△BCD+S△CPM+S△PMB= BDOC+ PMCE+ PMBN，

= + a（﹣ a2+2a）+ （4﹣a）（﹣ a2+2a），

=﹣a2+4a+ （0≤x≤4）．

=﹣（a﹣2）2+

∴a=2時(shí)，S四邊形PCDB的面積最大= ，

∴﹣ a2+ a+2=﹣ ×22+ ×2+2=3，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為：（2，3），

∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到（2，3）時(shí)，四邊形PCDB的面積最大，最大值為 ；

（3）

解：如圖2，∵拋物線的對(duì)稱軸是x= ．

∴OD= ．

∵C（0，2），

∴OC=2．

在Rt△OCD中，由勾股定理，得

CD= ．

∵△CDQ是以CD為腰的等腰三角形，

∴CQ1=DQ2=DQ3=CD．

如圖2所示，作CE⊥對(duì)稱軸于E，

∴EQ1=ED=2，

∴DQ1=4．

∴Q1（ ，4），Q2（ ， ），Q3（ ，﹣ ）．

【解析】（1）分別令解析式y(tǒng)=﹣ x+2中x=0和y=0，求出點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)；設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c，將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入解析式，求出a、b、c的值，進(jìn)而求得解析式；（2）設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，﹣ a+2），就可以表示出P的坐標(biāo)，由四邊形PCDB的面積=S△BCD+S△CPM+S△PMB求出S與a的關(guān)系式，由二次函數(shù)的性質(zhì)就可以求出結(jié)論；（3）由（2）的解析式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，再由勾股定理求出CD的值，再以點(diǎn)C為圓心，CD為半徑作弧交對(duì)稱軸于Q1 ， 以點(diǎn)D為圓心CD為半徑作圓交對(duì)稱軸于點(diǎn)Q2 ， Q3 ， 作CE垂直于對(duì)稱軸與點(diǎn)E，由等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理就可以求出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的圖象對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)．