Question

【題目】如圖，直線AB：y=﹣x﹣b分別與x，y軸交于A（6，0）、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)B的直線交x軸負(fù)半軸于C，且OB：OC=3：1．

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求直線BC的解析式；
（3）直線EF：y=2x﹣k（k≠0）交AB于E，交BC于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)D，是否存在這樣的直線EF，使得S△EBD=S△FBD？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將點(diǎn)A（6，0）代入直線AB解析式可得：0=﹣6﹣b，

解得：b=﹣6，

∴直線AB 解析式為y=﹣x+6，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，6）

（2）

解：∵OB：OC=3：1，

∴OC=2，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，0），

設(shè)BC的解析式是y=ax+c，代入得； ，

解得： ，

∴直線BC的解析式是：y=3x+6

（3）

解：過E、F分別作EM⊥x軸，F(xiàn)N⊥x軸，則∠EMD=∠FND=90°．

∵S△EBD=S△FBD，

∴DE=DF．

又∵∠NDF=∠EDM，

∴△NFD≌△EDM，

∴FN=ME，

聯(lián)立得 ，

解得：yE=﹣ k+4，

聯(lián)立 ，

解得：yF=﹣3k﹣12，

∵FN=﹣yF，ME=yE，

∴3k+12=﹣ k+4，

∴k=﹣2.4；

當(dāng)k=﹣2.4時(shí)，存在直線EF：y=2x+2.4，使得S△EBD=S△FBD．

【解析】（1）將點(diǎn)A（6，0）代入直線AB的解析式，可得b的值，繼而可得點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）設(shè)BC的解析式是y=ax+c，根據(jù)B點(diǎn)的坐標(biāo)，求出C點(diǎn)坐標(biāo)，把B，C點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入求出a和c的值即可；（3）過E、F分別作EM⊥x軸，F(xiàn)N⊥x軸，則∠EMD=∠FND=90°，有題目的條件證明△NFD≌△EDM，進(jìn)而得到FN=ME，聯(lián)立直線AB：y=﹣x﹣b和y=2x﹣k求出交點(diǎn)E和F的縱坐標(biāo)，再利用等底等高的三角形面積相等即可求出k的值；
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解一次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握一般地，一次函數(shù)y=kx+b有下列性質(zhì)：（1）當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大（2）當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小，以及對(duì)一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的理解，了解一次函數(shù)是直線，圖像經(jīng)過仨象限；正比例函數(shù)更簡(jiǎn)單,經(jīng)過原點(diǎn)一直線；兩個(gè)系數(shù)k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角,b與Y軸來相見,k為正來右上斜,x增減y增減；k為負(fù)來左下展,變化規(guī)律正相反；k的絕對(duì)值越大,線離橫軸就越遠(yuǎn)．