Question

某數(shù)學(xué)興趣小組，利用樹影測量樹高，如圖（1），已測出樹AB的影長AC為12米，并測出此太陽光線與地面成30°夾角．（

2

≈1.4，

3

≈1.7）
（1）求出樹高AB；
（2）因水土流失，此時樹AB沿太陽光線方向倒下，在傾倒過程中，樹影長度發(fā)生了變化，假設(shè)太陽光線于地面夾角保持不變（用圖（2）解答）
①求樹與地面成45°角時的影長；
②求樹的最大影長．

Answer 1

分析：（1）在直角△ABC中，已知∠ACB=30°，AC=12米．利用三角函數(shù)即可求得AB的長；
（2）①在△AB₁C₁中，已知AB₁的長，即AB的長，∠B₁AC₁=45°，∠B₁C₁A=30°．過B₁作AC₁的垂線，在直角△AB₁N中根據(jù)三角函數(shù)求得AN，BN；再在直角△B₁NC₁中，根據(jù)三角函數(shù)求得NC₁的長．即可求解；
②當(dāng)樹與地面成60°角時影長最大，根據(jù)三角函數(shù)即可求解．

解答：解：（1）AB=ACtan30°=12×

3

3

=4

3

≈7（米）．
答：樹高約為7米．

（2）作B₁N⊥AC₁于N．
①如圖（2），B₁N=AN=AB₁sin45°=4

3

×

2

2

≈5（米）．
NC₁=NB₁tan60°=2

6

×

3

≈8.5（米）．
AC₁=AN+NC₁=5+8.5=13.5（米）．
答：樹與地面成45°角時的影長約為13.5米．

②如圖（2），當(dāng)樹與地面成60°角時影長最大AC₂（或樹與光線垂直時影長最大或光線與半徑為AB的⊙A相切時影長最大）
AC₂=2AB₂≈14．
答：樹的最大影長約為14米．

點評：一般三角形的計算可以通過作高線轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題．