Question

某數(shù)學(xué)興趣小組，利用樹影測量樹高．已測出樹AB的影長AC為9米，并測出此時(shí)太陽光線與地面成30°夾角．
（1）求出樹高AB；
（2）因水土流失，此時(shí)樹AB沿太陽光線方向倒下，在傾倒過程中，樹影長度發(fā)生了變化，假設(shè)太陽光線與地面夾角保持不變，試求樹影的最大長度．（計(jì)算結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：

2

≈1.414，

3

≈1.732）

Answer 1

分析：（1）可根據(jù)正切值求出樹高AB；
（2）以點(diǎn)A為圓心，以AB為半徑作圓弧，當(dāng)太陽光線與圓弧相切時(shí)樹影最長，點(diǎn)D為切點(diǎn)，DE⊥AD交AC于E點(diǎn)，求出AE的值即可．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°
∵tanC=

AB

AC

（2分）
∴AB=AC•tanC（3分）
=9×

3

3

（4分）
≈5.2（米）（5分）

（2）以點(diǎn)A為圓心，以AB為半徑作圓弧，當(dāng)太陽光線與圓弧相切時(shí)樹影最長，點(diǎn)D為切點(diǎn)，DE⊥AD交AC于E點(diǎn)，（如圖）（7分）
在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠E=30°，
∴AE=2AD（9分）
=2×5.2=10.4（米）（10分）
答：樹高AB約為5.2米，樹影有最長值，最長值約為10.4米．（11分）

點(diǎn)評：此題主要是運(yùn)用所學(xué)的解直角三角形的知識解決實(shí)際生活中的問題．分析以點(diǎn)A為圓心，以AB為半徑作圓弧，當(dāng)太陽光線與圓弧相切時(shí)樹影最長，是解題的關(guān)鍵．