Question

在△ABC與△ADE中，點(diǎn)E在BC邊上，AD=

4

5

AE，AG為△ADE的中線，且∠EAG=∠ACB，∠DAG=∠B．
（1）如圖1，求證：AB=

4

5

AC；
（2）如圖2，點(diǎn)F是AC中點(diǎn)，連接DF，∠AFD=∠DAE，連接CD并延長交AB于點(diǎn)K，過點(diǎn)D作DQ∥BC交BK于點(diǎn)Q．
   ①求證：點(diǎn)Q為BK的中點(diǎn)；
   ②試探究線段BE與DQ的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）先延長AG至M，使得MG=AG，根據(jù)SAS證出△ADG≌△MEG，得出∠DAG=∠M，AD=EM，再根據(jù)∠DAG=∠B，得出∠M=∠B，即可得出△AME∽△CBA，從而得出

AB

AC

=

EM

AE

=

AD

AE

，即可證出AB=

4

5

AC；
（2））①根據(jù)已知條件得出△CDF∽△CKA，得出CD：CK=CF：AC=1：2，DK=CD，再根據(jù)DQ∥BC，得出△KDQ∽△KCB，從而得出

KQ

KB

=

DQ

BC

=

KD

KC

，最后根據(jù)CD=DK，得出QK=BQ，BC=2QD，即可得出點(diǎn)Q為BK的中點(diǎn)；
②延長BA至R，使AR=AB，連接CR、DR，根據(jù)AAA證出△DAR∽△EAC，得出∠DRA=∠ACB，

DR

CE

=

AD

AE

=

4

5

，再根據(jù)DQ∥BC，得出△ABC∽△DQR，根據(jù)相似得出

DQ

DR

=

AB

AC

=

4

5

，即可得出CE=

25

16

DQ，最后根據(jù)BC=2DQ，得出BE=BC-CE=2DQ-

25

16

DQ=

7

16

DQ，從而得出線段BE與DQ的數(shù)量關(guān)系．

解答：解：（1）如圖1，延長AG至M，使得MG=AG，
在△ADG與△MEG中，

DG=EG ∠AGD=∠EGM AG=GM

，
∴△ADG≌△MEG（SAS），
∴∠DAG=∠M，AD=EM，
∵∠DAG=∠B，
∴∠M=∠B，
∵∠EAG=∠C，
∴△AME∽△CBA，
∴

AB

AC

=

EM

AE

=

AD

AE

=

4

5

，
∴AB=

4

5

AC；

（2）①∵∠EAG=∠ACB，∠DAG=∠B，
∴∠EAD+∠BAC=180°，
又∵∠EAD=∠AFD，
∴∠AFD+∠BAC=180°，
∴DF∥AB，
∴△CDF∽△CKA，
∴CD：CK=CF：AC=1：2，
∴DK=CD，
∵DQ∥BC，
∴△KDQ∽△KCB，
∴

KQ

KB

=

DQ

BC

=

KD

KC

，
∵CD=DK，
∴QK=BQ BC=2QD，
∴點(diǎn)Q為BK的中點(diǎn)；
②延長BA至R，使AR=AB，連接CR、DR，
則

AD

AE

=

AR

AC

，
∵∠EAD+∠BAC=180°∠CAR+∠BAC=180°，
∴∠EAD=∠CAR，
∴∠EAD+∠CAD=∠CAD+∠CAR，即∠EAC=∠DAR，
∴△DAR∽△EAC，
∴∠DRA=∠ACB，

DR

CE

=

AD

AE

=

4

5

，即DR=

4

5

CE，
∵DQ∥BC，
∴∠AQD=∠B，
∴△ABC∽△DQR，
∴

DQ

DR

=

AB

AC

=

4

5

，即DR=

5

4

DQ，
∴

4

5

CE=

5

4

DQ，
∴CE=

25

16

DQ，
∵BC=2DQ，
∴BE=BC-CE=2DQ-

25

16

DQ=

7

16

DQ，
∴BE=

7

16

DQ．

點(diǎn)評：此題考查了相似形綜合題，用到的知識點(diǎn)是：全等三角形和相似三角形的判定與性質(zhì)等，關(guān)鍵是根據(jù)題意做出輔助線，構(gòu)造出三角形與已知三角形全等或相似．