Question

【題目】如圖，地物線點(diǎn)：（、、均不為0）的頂點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為，我們稱(chēng)以為頂點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是軸且過(guò)點(diǎn)的拋物線為拋物線的衍生拋物線，直線為拋物線的衍生直線.

（1）求拋物線的衍生拋物線和衍生直線的解析式；

（2）若一條拋物線的衍生拋物線和衍生直線分別是和，求這條拋物線的解析式.

Answer 1

【答案】（1）； （2）

【解析】

（1）衍生拋物線頂點(diǎn)為原拋物線與y軸的交點(diǎn)，則可根據(jù)頂點(diǎn)設(shè)頂點(diǎn)式方程，由衍生拋物線過(guò)原拋物線的頂點(diǎn)代入頂點(diǎn)坐標(biāo)可求出衍生拋物線解析式．根據(jù)衍生直線經(jīng)過(guò)M、N可求衍生直線的解析式.

（2）已知衍生拋物線和衍生直線求原拋物線思路正好與（1）相反，根據(jù)衍生拋物線與衍生直線的兩交點(diǎn)分別為衍生拋物線與原拋物線的交點(diǎn)，則可推得原拋物線頂點(diǎn)式，再代入經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即得解析式．

解：（1）∵拋物線點(diǎn)過(guò)，

∴設(shè)其衍生拋物線為．

∵，

∴衍生拋物線過(guò)拋物線的頂點(diǎn)．

∴，即．

∴衍生拋物線為．

設(shè)衍生直線為，則直線點(diǎn)過(guò)與，

∴解得

∴衍生直線為．

（2）∵衍生拋物線和衍生直線兩交點(diǎn)分別為原拋物線與衍生拋物線的頂點(diǎn)，

∴將和聯(lián)立，得

解得或

∵衍生拋物線的頂點(diǎn)為，

∴原拋物線的頂點(diǎn)為．

設(shè)原拋物線為，則拋物線過(guò)點(diǎn)，

∴，即，

∴原拋物線為．