Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為1，AC，BD是對角線，將△DCB繞著點D順時針旋轉(zhuǎn)45°得到△DGH，HG交AB于點E，連接DE交AC于點F，連接FG，則下列結(jié)論：①DE平分∠ADB；②BE=2-；③四邊形AEGF是菱形；④BC+FG=1.5.其中結(jié)論正確的序號是_______.

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，△DGH≌△DCB，進而得知DH=DB，∠H=∠CBD=45°，∠DGH=∠DCB=90°，DG=DC=AD，之后可證△ADF≌△GDF，四邊形AEGF是菱形，再根據(jù)勾股定理可知AE的長度，進而可以一一判斷選出答案.

解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，△DGH≌△DCB，

∴DH=DB，∠H=∠CBD=45°，∠DGH=∠DCB=90°，DG=DC=AD，

在Rt△AED與Rt△GED中，AD=DG，ED=ED

∴Rt△AED≌Rt△GED（HL）

∴∠ADE=∠GDE，即DE平分∠ADB，故①正確；

在△ADF和△GDF中，AD=DG，∠ADF=∠GDF，DF=DF，

∴△ADF≌△GDF（SAS）

∴AF=GF，∠DAF=∠DGF=45°

又∵∠ABD=45°

∴FG∥AE

∵∠DAC=45°，

∴∠DAC=∠H，

∴AF∥EG

∴四邊形AEGF是平行四邊形，

又∵AF=GF

∴平行四邊形AEGF是菱形，故③正確；

∵∠H=45°，∠HAE=90°

∴AE=AH

∵AE=AF=HD-AD=BD-AD

∵正方形ABCD的邊長為1，根據(jù)勾股定理可知

即HD=

∴AE=

∴BE=，故②正確；

∵四邊形AEGF是菱形

∴FG=AE=

∴BC+FG=，故④錯誤；

綜上答案為①②③.