Question

3．定義：如果一個(gè)點(diǎn)能與另外兩個(gè)點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，則稱這個(gè)點(diǎn)為另外兩個(gè)點(diǎn)的勾股點(diǎn)．例如：在矩形OBCD中，點(diǎn)C是O、B兩點(diǎn)的一個(gè)勾股點(diǎn)（如圖1所示）．
問(wèn)題（1）：如圖1，在矩形OBCD中，OD=4，DC邊上取一點(diǎn)E，DE=8．若點(diǎn)E是O、B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合），求OB的長(zhǎng)；
問(wèn)題（2）：如圖2，在矩形OBCD中，OD=4，OB=12，在OB邊上取一點(diǎn)F，使OF=5，DC邊上取一點(diǎn)E，使DE=8．點(diǎn)P為DC邊上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線PQ∥OD交OB邊于點(diǎn)Q．設(shè)DP=t（t＞0）．
①當(dāng)點(diǎn)P在線段DE之間時(shí)，以EF為直徑的圓與直線PQ相切，求t的值；
②若直PQ上恰好存在兩個(gè)點(diǎn)是E、F兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）連接OE、BE．設(shè)OB=x，則EC=x-8．先依據(jù)勾股定理表示出OE²、BE²的值，再依據(jù)勾股定理的逆定理列方程求解即可；
（2）①過(guò)點(diǎn)F作FG⊥DC，垂足為G，過(guò)點(diǎn)O作ON∥DE．在△EFG中依據(jù)勾股定理求得EF的長(zhǎng)，從而可求得OH的長(zhǎng)，由梯形的中位線定理可求得ON的長(zhǎng)，然后依據(jù)NH=NO-OH可求得NH的長(zhǎng)，從而求得t的值；
②當(dāng)直線PQ與圓O相離或直線PQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)E或直線PQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)F時(shí)，PQ上恰好存在兩個(gè)點(diǎn)是E、F兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)．

解答 （1）如圖1所示，連接OE、BE．

設(shè)OB=x，則EC=x-8．
在△DOE中，OE²=DE²+OD²=4²+8²=80，BE²=CE²+CB²=4²+（x-8）²．
∵E為點(diǎn)O和點(diǎn)B的勾股定理點(diǎn)，
∴OB²=OE²+BE²，即4²+（x-8）²+80=x²．
解得：x=10．
∴OB=10．
（2）①過(guò)點(diǎn)F作FG⊥DC，垂足為G，過(guò)點(diǎn)O作ON∥DE．

∵DE=8，OF=5，DO=4，
∴GE=3，F(xiàn)G=4，ON=6.5．
∴EF=$\sqrt{G{E}^{2}+F{G}^{2}}$=5．
∴OH=2.5．
∴HN=NO-OH=6.5-2.5=4．
∴t=4．
②如圖3所示：當(dāng)直線PQ與圓O相離時(shí)．過(guò)點(diǎn)E作EG⊥EF交PQ于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)F作HF⊥EF，垂足為H．

∵∠GEF=90°，
∴△GEF為直角三角形．
∴G是E、F的一個(gè)公共點(diǎn)．
同理點(diǎn)H也是E、F的一個(gè)公共點(diǎn)．
∴當(dāng)直線PQ與圓O相離時(shí)，PQ上恰好存在兩個(gè)點(diǎn)是E、F兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)．
∴當(dāng)0＜t＜4時(shí)，PQ上恰好存在兩個(gè)點(diǎn)是E、F兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)．
同理：當(dāng)PQ在圓O的右側(cè)，PQ上恰好存在兩個(gè)點(diǎn)是E、F兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)．
∴9＜t≤12．
如圖4所示：當(dāng)PF經(jīng)過(guò)點(diǎn)F時(shí)，PQ上恰好存在兩個(gè)點(diǎn)是E、F兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)．

∵OF=5，
∴t=5．
如圖5所示：當(dāng)PF經(jīng)過(guò)點(diǎn)E時(shí)，PQ上恰好存在兩個(gè)點(diǎn)是E、F兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)．

∵DE=8，
∴t=8．
綜上所述當(dāng)0＜t＜4或t=5或t=8或9＜t≤12時(shí)，PQ上恰好存在兩個(gè)點(diǎn)是E、F兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是圓的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了勾股定理、勾股定理的逆定理以及直線和圓的位置關(guān)系，找出PQ上恰好存在兩個(gè)點(diǎn)是E、F兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)的條件是解題的關(guān)鍵．