Question

拋物線y=ax²+

1

2

x+c經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0）和點(diǎn)B（4，-3），第一象限的點(diǎn)C（m，m）在拋物線上，
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）求C的坐標(biāo)；
（3）在拋物線的對稱軸上，是否存在一點(diǎn)D，使得△BCD周長最�。�

Answer 1

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,軸對稱-最短路線問題

專題：計(jì)算題

分析：（1）把A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax²+

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2

x+c得到關(guān)于a和c的方程組，解方程組求出a和c的值即可得到拋物線解析式y(tǒng)=-

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x²+

1

2

x+3；
（2）把C（m，m）代入y=-

1

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x²+

1

2

x+3得到-

1

2

m²+

1

2

m+3=m，然后解關(guān)于m的一元二次方程即可得到C點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）先確定拋物線的對稱軸為直線x=

1

2

，則求出點(diǎn)C（2，2）關(guān)于直線x=

1

2

的對軸點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-1，2），連結(jié)BE，BE與直線x=-

1

2

相交于D，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得到DC+DB最小，則△BCD周長最小，然后利用待定系數(shù)法求出直線BE的解析式，再確定直線BE與直線x=-

1

2

的交點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）把A（-2，0）和點(diǎn)B（4，-3）分別代入y=ax²+

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2

x+c得

4a-1+c=0 16a+2+c=-3

，解得

a=- 1 2 c=3

，
所以拋物線解析式為y=-

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x²+

1

2

x+3；
（2）把C（m，m）代入y=-

1

2

x²+

1

2

x+3得-

1

2

m²+

1

2

m+3=m，
整理得m²+m-6=0，解得m₁=-3（舍去），m₂=2，
所以C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）；
（3）存在．
y=-

1

2

x²+

1

2

x+3=-

1

2

（x-

1

2

）²+

25

8

，則拋物線的對稱軸為直線x=

1

2

，點(diǎn)C（2，2）關(guān)于直線x=

1

2

的對軸點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-1，2），
連接BE，BE與直線x=-

1

2

相交于D，
連接CD，此時(shí)△BCD周長最小，
設(shè)直線BE的解析式為y=kx+b，
把B（4，-3）、E（-1，2）代入得

4k+b=-3 -k+b=2

，解得

k=-1 b=1

，
所以直線BE的解析式為y=-x+1，
當(dāng)x=

1

2

，y=-x+1=

1

2

，
所以D點(diǎn)坐標(biāo)（

1

2

，

1

2

）．

點(diǎn)評：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解．也考查了軸對稱-最短路線問題．