Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-

1

2

x+

5

2

交直線y=kx（k＞0）于點B，平行于y軸的直線x=7交它們于點A、C，且AC=15．
（1）求∠OBC的度數(shù)；
（2）若正方形的四個頂點恰好在射線AB、射線CB及線段AC上，請直接寫出射線AB上的正方形頂點的坐標(biāo)．（不需要寫出計算過程）．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先求得C的坐標(biāo)，即可求得A的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求得AB的解析式，即可作出判斷；
（2）首先求得△ABC的三邊長，然后利用相似三角形的性質(zhì)求得正方形的邊長，則正方形上射線AB上的點F到O的距離，OF即可求得，然后作FG⊥x軸于點G，根據(jù)三角形相似即可求得F的坐標(biāo)．

解答：解：（1）在y=-

1

2

x+

5

2

，中令x=7，則y=-

1

2

×7+

5

2

=-1，
∵AC=15，
∴A的縱坐標(biāo)是14，則A的坐標(biāo)是（7，14），
把（7，14）代入y=kx得：7k=14，
解得：k=2，
∵2×（-

1

2

）=-1，
∴直線AB和BC垂直，
∴∠OBC=90°；
（2）根據(jù)題意得：

y=2x y=- 1 2 x+ 5 2

，
解得：

x=1 y=2

，
則B的坐標(biāo)是（1，2），
0B=

12+22

=

5

．
AB=

(7-1)2+(14-2)2

=6

5

，BC=

(7-1)2+(2+1)2

=3

5

，
設(shè)正方形BDEF的邊長是x，
則△AFE∽△ABC，
則

EF

BC

=

AF

AB

，即

x

3 5

=

6 5 -x

6 5

，
解得：x=2

5

，
則OF=

5

+2

5

=3

5

，
OA=

72+142

=7

5

，
作FG⊥x軸于點G．
∵FG∥AH，
∴△FOG∽△AOH，
∴

FG

AH

=

OF

OA

=

3 5

7 5

=

3

7

，
∴FG=

3

7

AH=

3

7

×14=6，則F的縱坐標(biāo)是7，
把y=6代入y=2x得：x=3．
則F的坐標(biāo)是（3，6）．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，直線互相垂直的條件，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，求得正方形BDEF的邊長是關(guān)鍵．