Question

通過類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目，可達(dá)到解一題知一類的目的．
（1）下面是一個案例，請補充完整；
如圖1，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，連接EF，則 EF=BE+DF，理由如下：
∵AB=AD，∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合．
∵∠ADC=∠B=∠ADG=90°，∴∠FDG=180°，點F、D、G共線．
由旋轉(zhuǎn)得：△ABE≌△ADG∴AE=AG，BE=DG，∠BAE=∠DAG
而∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°∴∠DAG+∠DAF=45°  即∠FAG=45°
∴∠EAF=∠FAG
根據(jù)

 

（填三角形全等的方法），證得

 

≌△AFG，
∴EF=FG
又∵FG=DG+DF
∴EF=DG+DF=BE+DF．
（2）類比引申
如圖2，四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°點E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，則當(dāng)∠B與∠D滿足等量關(guān)系

 

 時，仍有EF=BE+DF．
（3）聯(lián)想拓展
如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D、E均在邊BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系，并寫出推理過程．

Answer 1

考點：幾何變換綜合題

專題：

分析：（1）把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，再證明△AFG≌△AFE進而得到EF=FG，即可得EF=BE+DF；
（2）∠B+∠D=180°時，EF=BE+DF，與（1）的證法類同；
（3）根據(jù)△AEC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABE′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知△AEC≌△ABE′得到BE′=EC，AE′=AE，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB，根據(jù)Rt△ABC中的，AB=AC得到∠E′BD=90°，所以E′B²+BD²=E′D²，證△AE′D≌△AED，利用DE=DE′得到DE²=BD²+EC²．

解答：解：（1）∵AB=AD，
∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合．
∴∠BAE=∠DAG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠EAF=∠FAG，
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，點F、D、G共線，
在△AFE和△AFG中，

AE=AG ∠EAF=∠FAG AF=AF

，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF=FG，
即：EF=BE+DF．
故答案是：SAS；△AFE；

（2）∠B+∠D=180°時，EF=BE+DF；
∵AB=AD，
∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，
∴∠BAE=∠DAG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠EAF=∠FAG，
∵∠ADC+∠B=180°，
∴∠FDG=180°，點F、D、G共線，
在△AFE和△AFG中，

AE=AG ∠FAE=∠FAG AF=AF

，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF=FG，
即：EF=BE+DF．
故答案是：∠B+∠D=180°；

（3）猜想：DE²=BD²+EC²，
證明：根據(jù)△AEC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABE′，
∴△AEC≌△ABE′，
∴BE′=EC，AE′=AE，
∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB，
在Rt△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABC+∠ABE′=90°，
即∠E′BD=90°，
∴E′B²+BD²=E′D²，
又∵∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠EAC=45°，
∴∠E′AB+∠BAD=45°，
即∠E′AD=45°，
在△AE′D和△AED中，

AE′=AE ∠E′AD=∠DAE AD=AD

，
∴△AE′D≌△AED（SAS），
∴DE=DE′，
∴DE²=BD²+EC²．

點評：此題主要考查了幾何變換，關(guān)鍵是正確畫出圖形，證明△AFG≌△AEF．此題是一道綜合題，難度較大，題目所給例題的思路，為解決此題做了較好的鋪墊．