【題目】如圖,△ABC的中線BD,CE交于點(diǎn)OF,G分別是BOCO的中點(diǎn).

1)填空:四邊形DEFG  四邊形.

2)若四邊形DEFG是矩形,求證:ABAC

3)若四邊形DEFG是邊長(zhǎng)為2的正方形,試求△ABC的周長(zhǎng).

【答案】1)平行;(2)見(jiàn)解析;(3.

【解析】

(1)根據(jù)三角形中位線定理得出DE∥BC,DE=BC,F(xiàn)G∥BC,F(xiàn)G=BC,那么DE∥FG,DE=FG,利用有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可得出四邊形DEFG是平行四邊形;
(2)先由矩形的性質(zhì)得出OD=OE=OF=OG.再根據(jù)重心的性質(zhì)得到OB=2OD,OC=2OE,等量代換得出OB=OC.利用SAS證明△BOE≌△COD,得出BE=CD,然后根據(jù)中點(diǎn)的定義即可證明AB=AC;
(3)連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)M,先由三角形中線的性質(zhì)得出M為BC的中點(diǎn),由(2)得出AB=AC,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出AM⊥BC,再由三角形中位線定理及三角形重心的性質(zhì)得出BC=2FG=4,AM=AO=6,由勾股定理求出AB=2,進(jìn)而得到△ABC的周長(zhǎng).

(1)解:∵△ABC的中線BD,CE交于點(diǎn)O,
∴DE∥BC,DE=BC,
∵F,G分別是BO,CO的中點(diǎn),
∴FG∥BC,F(xiàn)G=BC,
∴DE∥FG,DE=FG,
∴四邊形DEFG是平行四邊形.
故答案為平行;

(2)證明:∵四邊形DEFG是矩形,
∴OD=OE=OF=OG.
∵△ABC的中線BD,CE交于點(diǎn)O,
∴點(diǎn)O是△ABC的重心,
∴OB=2OD,OC=2OE,
∴OB=OC.
在△BOE與△COD中,

,
∴△BOE≌△COD(SAS),
∴BE=CD,
∵E、D分別是AB、AC中點(diǎn),
∴AB=AC;

(3)解:連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)M.
∵三角形的三條中線相交于同一點(diǎn),△ABC的中線BD、CE交于點(diǎn)O,
∴M為BC的中點(diǎn),
∵四邊形DEFG是正方形,
由(2)可知,AB=AC,
∴AM⊥BC.
∵正方形DEFG邊長(zhǎng)為2,F(xiàn),G分別是BO,CO的中點(diǎn),
∴BC=2FG=4,BM=MC=BC=2,AO=2EF=4,
∴AM=AO=6,
∴AB===2
∴△ABC的周長(zhǎng)=AB+AC+BC=4+4.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)補(bǔ)全小明的探索

(應(yīng)用)

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