Question

如圖①所示，已知A（2

3

，

8 3

3

），O（0，0），C（5

3

，

8 3

3

），B（3

3

，0），連接AO、OB、BC、CA，構(gòu)成四邊形AOBC為平行四邊形，F(xiàn)為BC中點，過點F作EF∥OB，交OA于點E（如圖②），點P為直線EF上的一個動點，連接PA、PO．是否存在這樣的點P，使以P、O、A為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請直接寫出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題,直角三角形斜邊上的中線,勾股定理,平行線分線段成比例,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：分類討論

分析：由于Rt△OPA的直角不確定，因此需分三種情況（①∠OPA=90°，②∠OAP=90°，③∠POA=90°）討論．運用勾股定理可求出AH、OH、OA，然后根據(jù)平行線等分線段定理可得OE=AE，OG=GH，從而可求出OG、OE、EG，然后運用相似三角形的性質(zhì)及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等知識，就可解決問題．

解答：解：存在點P，使以P、O、A為頂點的三角形是直角三角形，
點P的坐標為（

8 3

3

，

4 3

3

）、（-

2 3

3

，

4 3

3

）、（

34 3

9

，

4 3

3

）、（-

16 3

9

，

4 3

3

）．
理由如下：
設直線EF與y軸的交點為G，延長CA交y軸于點H，
∵四邊形AOBC是平行四邊形，∴AC∥OB．
∵OB⊥OH，∴AC⊥OH．
∵點A的坐標為（2

3

，

8 3

3

），
∴AH=2

3

，OH=

8 3

3

，
∴OA=

AH2+OH2

=

10 3

3

．
∵GF∥OB，CH∥OB，∴OB∥GF∥CH．
∵BF=CF，
∴OE=AE=

1

2

OA=

5 3

3

，OG=GH=

1

2

OH=

4 3

3

．
∴EG=

OE2-OG2

=

3

．
①若∠OPA=90°，
Ⅰ．點P在點E的右邊，如圖②．

∵∠OPA=90°，OE=AE，
∴PE=

1

2

OA=

5 3

3

．
∴PG=PE+EG=

5 3

3

+

3

=

8 3

3

．
∴點P的坐標為（

8 3

3

，

4 3

3

）．
Ⅱ．點P在點E的左邊，如圖③．

∵∠OPA=90°，OE=AE，
∴PE=

1

2

OA=

5 3

3

．
∴PG=PE-EG=

5 3

3

-

3

=

2 3

3

．
∴點P的坐標為（-

2 3

3

，

4 3

3

）．
②若∠OAP=90°，如圖④．

∵∠OGE=∠PAE，∠GEO=∠AEP，
∴△OGE∽△PAE．
∴

OE

PE

=

GE

AE

．
∴OE•AE=GE•PE．
∴

5 3

3

×

5 3

3

=

3

PE．
∴PE=

25 3

9

．
∴GP=GE+PE=

3

+

25 3

9

=

34 3

9

．
∴點P的坐標為（

34 3

9

，

4 3

3

）．
③若∠POA=90°，如圖⑤．

∵∠POE=∠OGE=90°，∠PEO=∠OEG，
∴△POE∽△OGE．
∴

OE

GE

=

PE

OE

．
∴OE•OE=GE•PE．
∴

5 3

3

×

5 3

3

=

3

PE．
∴PE=

25 3

9

．
∴PG=PE-EG=

25 3

9

-

3

=

16 3

9

．
∴點P的坐標為（-

16 3

9

，

4 3

3

）．
綜上所述：滿足要求的點P的坐標為（

8 3

3

，

4 3

3

）、（-

2 3

3

，

4 3

3

）、（

34 3

9

，

4 3

3

）、（-

16 3

9

，

4 3

3

）．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線等分線段定理、勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等知識，考查了分類討論的數(shù)學思想，運用相似三角形的性質(zhì)及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等知識是解決本題的關(guān)鍵．