Question

如圖，A（10，0），B（6，0），點(diǎn)C在y軸的正半軸上，∠CBO=45°，CD∥AB，∠CDA=90°，點(diǎn)P從點(diǎn)Q（-8，0）出發(fā)，沿x軸向右以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)∠BCP=15°時(shí)，求t的值；
（3）以點(diǎn)P為圓心，PC為半徑的⊙P隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而變化，當(dāng)⊙P與四邊形ABCD的邊（或邊所在直線）相切時(shí)，求t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）由A，B的坐標(biāo)及∠CBO=45°可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，6）；
（2）分為兩種情況：①當(dāng)P在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，②當(dāng)P在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，分別求出t的值，
（3）本小題分三種情況討論：①當(dāng)PC⊥BC時(shí)，⊙P與BC相切；②當(dāng)PC⊥CD時(shí)，⊙P與CD相切；③當(dāng)PA⊥AD時(shí)，⊙P與AD相切；分別求出各種情況的t的值．

解答：解：（1）∵A（10，0），B（6，0），
∴OA=10，OB=6，
∵∠CBO=45°，
∴OC=OB=6，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)（0，6）；
（2）①當(dāng)P在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，
∵∠CBO=45°，∠BCP=15°
∴∠OCP=∠OCB-∠BCP=45°-15°=30°，
∵CO=6，
∴OP=

3

3

CO=2

3

，
∵Q（-8，0），
∴QP=2

3

+8，
∵點(diǎn)P沿x軸向右以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，
∴t=

3

+4，
②當(dāng)P在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，
∵∠CBO=45°，∠BCP=15°
∴∠OCP=∠OCB+∠BCP=45°+15°=60°，
∵CO=6，
∴OP=

3

CO=6

3

，
∵Q（-8，0），
∴QP=6

3

+8，
∵點(diǎn)P沿x軸向右以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，
∴t=3

3

+4，
綜上所述當(dāng)∠BCP=15°時(shí)，t的值為

3

+4或3

3

+4．
（3）①如圖1，當(dāng)PC⊥BC時(shí)，⊙P與BC相切，

∵∠CBO=45°，
∴∠CPB=45°，CP=BC，
∵CO=6，
∴PO=6，
∴QP=QO-PO=8-6=2，
∵點(diǎn)P從點(diǎn)Q（-8，0）出發(fā)，沿x軸向右以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，
∴t=1（秒），
②如圖2，當(dāng)PC⊥CD時(shí)，⊙P與CD相切，

∵QO=8，點(diǎn)P從點(diǎn)Q（-8，0）出發(fā)，沿x軸向右以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，
∴t=8÷2=4（秒）
③如圖3，當(dāng)PA⊥AD時(shí)，⊙P與AD相切，設(shè)PA=r

∵OA=10，OC=6，
∴OP²+OC²=PC²，即（10-r）²+6²=r²，解得r=

34

5

，
∴QP=8+10-

34

5

=

56

5

，
∵點(diǎn)P從點(diǎn)Q（-8，0）出發(fā)，沿x軸向右以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，
∴t=

28

5

，
綜上所述t₁=1秒，t₂=4秒，t₃=

28

5

秒．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓的綜合題，解題的關(guān)鍵是分類討論當(dāng)⊙P與四邊形ABCD的邊（或邊所在直線）相切的三種情況．