Question

【題目】如圖，在等邊三角形ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，E是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且BE=BD，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于H．

（1）求∠BAD和∠BDE的度數(shù)；
（2）求證：點(diǎn)H是AE的中點(diǎn)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵在等邊△ABC，且D是AC的中點(diǎn)，

∴∠DAB= ∠BAC= ×60°=30°，∠ABC=60°，

∵BE=BD，

∴∠BDE=∠E，

∵∠ABC=∠BDE+∠E，

∴∠BDE=∠E=30°，

∴∠BAD=30°，∠BDE=30°

（2）證明：由（1）可知，∠DAB=∠E=30°

∴AD=ED，△ADE為等腰三角形，

又∵DH⊥AE，

∴H是AE的中點(diǎn)．

【解析】（1）根據(jù)等腰三角形的三線合一，可得∠DAB=30°，根據(jù)∠ABC=60°，BD=BE，推出∠E=30°．（2）要證M是BE的中點(diǎn)，根據(jù)題意可知，證明△BDE△為等腰三角形，利用等腰三角形的高和中線向重合即可得證．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解三角形的內(nèi)角和外角的相關(guān)知識(shí)，掌握三角形的三個(gè)內(nèi)角中，只可能有一個(gè)內(nèi)角是直角或鈍角；直角三角形的兩個(gè)銳角互余；三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角，以及對(duì)等邊三角形的性質(zhì)的理解，了解等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都是60°．