Question

直線l₁交y軸的正半軸于A，交x軸的正半軸于B，將l₁沿y軸翻折得l₂，l₂交x軸于C，在△ABC外以AC為邊作等腰直角三角形ACD，∠DAC=90°，AD=AC，連BD分別交y軸、AC于E、G，CE交AB于F．
（1）若l₁的解析式為y=-

3

x+

3

，①求直線GE的解析式；②求

AF

BF

的值．
（2）若點G恰為線段AC的三等分點，且CD=6

2

，GE=

 

（直接寫出GE的長）

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）①作DM⊥x軸垂足為M，AN⊥DM垂足為N，由l₁的解析式得出OA=

3

，OB=1，得到A，B，C的坐標，利用△ADN≌△ACO得出AN=OA=

3

，DN=OC=1，求出點D的坐標，把
B，D的坐標代入y=kx+b求出解析式．②由直線GE的解析式求出E，C坐標，求出直線CE的解析式，再利用比例式求出

AF

BF

的值．
（2）利用△AGD∽△EGC，得出，

CE

DA

=

GE

AD

，利用線段關系求出線段代入，求出GE．

解答：
解：（1）如圖1，作DM⊥x軸垂足為M，AN⊥DM垂足為N，
由l₁的解析式為y=-

3

x+

3

可知OA=

3

，OB=1，
∴A（0，

3

），B（1，0），C（-1，0），
∵∠NAO=∠DAC=90°，
∴∠DAN=∠CAO，AD=AC，
在△ADN和△ACO中，

∠DNA=∠COA ∠DAN=∠CAO AD=AC

∴△ADN≌△ACO（AAS），
∴AN=OA=

3

，DN=OC=1，
∴DM=DN+AO=1+

3

，
∴D（-

3

，1+

3

），
①設直線GE的解析式為：y=kx+b，
∵經過B（1，0），D（-

3

，1+

3

），
∴

0=k+b 1+ 3 =- 3 k+b

，解得；

k=-1 b=1

，
∴直線GE的解析式為y=-x+1，
②∵直線GE的解析式為y=-x+1，
∴E（0，1），C（-1，0），
∴直線CE的解析式為；y=x+1
解

y=x+1 y=- 3 x+ 3

 得

x=2- 3 y=3- 3

∴

AF

AB

=

2- 3

1

，
∴

BF

AF

=

1-(2- 3 )

2- 3

，即

AF

BF

=

2- 3

3 -1

=

3 -1

2

．
（2）如圖2，

∵∠DAC=90°，AD=AC，CD=6

2

，
∴AD=AC=6，
∵G恰為線段AC的三等分點，
∴AG=6×

1

3

=2，CG=6×

2

3

=4，
∵l₁沿y軸翻折得l₂，
∴AC=AB，
∴AD=AB，
∴∠ADB=∠ABD，
∵AO是CB的中垂線，
∴∠ACF=∠ABD
∴∠ADB=∠ACF，
又∵∠AGD=∠EGC，
∴△AGD∽△EGC，
∴∠GEC=90°，

CE

DA

=

GE

AD

，
∵CE=

CG2-GE2

=

16-GE2

∴

16-GE2

6

=

GE

2

，
解得GE=

2 10

5

點評：本題主要考查了一次函數(shù)綜合題，解題的關鍵是利用三角形相似求出線段．