【題目】如圖,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=6cm,∠ABC=30°,動點 P 從點 B 出發(fā),在 BA 邊上以每秒 2cm 的速度向點 A 勻速運動,同時動點 Q 從點 C 出發(fā),在 CB 邊上以每秒cm 的速度向點 B 勻速運動,運動時間為 t 秒(0≤t≤6),連接 PQ,以 PQ 為直徑作⊙O.
(1)當 t=1 時,求△BPQ 的面積;
(2)設(shè)⊙O 的面積為 y,求 y 與 t 的函數(shù)解析式;
(3)若⊙O 與 Rt△ABC 的一條邊相切,求 t 的值.
【答案】(1);(2)y=t2-18πt+27π;(3)t 的值為 3 或或 0 或.
【解析】
(1)連接DP,根據(jù)△BPM~△BAC,可得PD=t,BQ=(6-t),然后得到
=BQ·PD即可得出結(jié)論;
(2)先表示出DP,BD,進而利用勾股定理求出PQ的平方,最后用圓的面積公式即可得出結(jié)論;
(3)分O與BC相切、O與AB相切, O與AC相切時,三種情況分類討論即可得出結(jié)論.
解:
(1)如圖 1,
在 Rt△ABC 中,∠ABC=30°,AC=6,
∴AB=12,BC=6,
由運動知,BP=2t,CQ=t,
∴BQ=BC﹣CQ=(6﹣t),連接 DP,
∵PQ 是⊙O 的直徑,
∴∠PDQ=90°
∵∠C=90°,
∴PD∥AC.
∴△BPD∽△BAC,
∴=
∴=,
∴DP=t,BD= t,
= BQPD= ×(6﹣t)t=﹣ t+3 t
∴當 t=1 時,=﹣ +3= ;
(2)DQ=|BQ﹣BD|=| (6﹣t)﹣ t|=2|3﹣t|,PQ=PD+DQ=t+[2
(3﹣t)]=13t﹣72t+108,
∴y=π×()= t﹣18πt+27π,
(3)由運動知,BP=2t,CQ=t,
∴BQ=BC﹣CQ=(6﹣t),當⊙O 與 BC 相切時,PQ⊥BC,
∴△BPQ∽△BAC,
∴
∴
∴=3,
當⊙O 與 AB 相切時,PQ⊥AB,
∴△BPQ∽△BCA
∴
∴
∴= ,
當⊙O 與 AC 相切時,
如圖 2 ,
過點 O 作 OH⊥AC 于點 H,交 PD 于點 N,
∴OH∥BC,
∵點 O 是 PQ 的中點,
∴ON= QD,
由(1)知,BQ=(6﹣t),BD=t,
∴QD=BD﹣BQ=2(t﹣3),DC=BC﹣BD=6﹣t=(6﹣t)
∴OH=ON+NH= QD+DC= ×2 (t﹣3)+ (6﹣t)=3 ,
∴PQ=2OH=6,
由(2)知,PQ=13t﹣72t+108
∴13t﹣72t+108=36×3解得 =0,=,
綜上所述,若⊙O 與 Rt△ABC 的一條邊相切,t 的值為 3 或或 0 或.
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【題目】在一個不透明的口袋中有3個分別標有數(shù)字-1、1、2的小球,它們除標的數(shù)字不同外無其他區(qū)別.
(1)隨機地從口袋中取出一小球,求取出的小球上標的數(shù)字為負數(shù)的概率;
(2)隨機地從口袋中取出一小球,放回后再取出第二個小球,求兩次取出的數(shù)字的和等于0的概率.
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【題目】小軍同學在學校組織的社會調(diào)查活動中負責了解他所居住的小區(qū)450戶居民的生活用水情況,他從中隨機調(diào)查了50戶居民的月均用水量(單位:t),并繪制了樣本的頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖(如圖).
月均用水量(單位:t) | 頻數(shù) | 百分比 |
2≤x<3 | 2 | 4% |
3≤x<4 | 12 | 24% |
4≤x<5 |
|
|
5≤x<6 | 10 | 20% |
6≤x<7 |
| 12% |
7≤x<8 | 3 | 6% |
8≤x<9 | 2 | 4% |
(1)請根據(jù)題中已有的信息補全頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖;
(2)如果家庭月均用水量“大于或等于4t且小于7t”為中等用水量家庭,請你通過樣本估計總體中的中等用水量家庭大約有多少戶?
(3)從月均用水量在2≤x<3,8≤x<9這兩個范圍內(nèi)的樣本家庭中任意抽取2個,求抽取出的2個家庭來自不同范圍的概率.
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【題目】如圖,圓 O 的半徑為 1,過點 A(2,0)的直線與圓 O 相切于點 B,與 y 軸相交于點 C.
(1)求 AB 的長;
(2)求直線 AB 的解析式.
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【題目】在一只不透明的布袋中裝有紅球 3 個、黃球 1 個,這些球除顏色外都相同,均勻搖勻.
(1)從布袋中一次摸出 1 個球,計算“摸出的球恰是黃球”的概率;
(2)從布袋中一次摸出 2 個球,計算“摸出的球恰是一紅一黃”的概率(用“ 畫樹狀圖”或“列表”的方法寫出計算過程).
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【題目】如圖1,等腰△ABC中,AC=BC,點O在AB邊上,以O為圓心的圓經(jīng)過點C,交AB邊于點D,EF為⊙O的直徑,EF⊥BC于點G,且D是的中點.
(1)求證:AC是⊙O的切線;
(2)如圖2,延長CB交⊙O于點H,連接HD交OE于點P,連接CF,求證:CF=DO+OP;
(3)在(2)的條件下,連接CD,若tan∠HDC=,CG=4,求OP的長.
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【題目】如圖,△ABC是等邊三角形,AB=,點D是邊BC上一點,點H是線段AD上一點,連接BH、CH.當∠BHD=60°,∠AHC=90°時,DH=_____.
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【題目】如圖,點A,B在反比例函數(shù)的圖象上,點C,D在反比例函數(shù)的圖象上,AC//BD//y軸,已知點A,B的橫坐標分別為1,2,△OAC與△ABD的面積之和為,則的值為( )
A. 3 B. 4 C. 2 D.
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【題目】某商家獨家銷售具有地方特色的某種商品,每件進價為40元.經(jīng)過市場調(diào)查,一周的銷售量y件與銷售單價x(x≥50)元/件的關(guān)系如下表:
(1)直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式:
(2)設(shè)一周的銷售利潤為S元,請求出S與x的函數(shù)關(guān)系式,并確定當銷售單價在什么范圍內(nèi)變化時,一周的銷售利潤隨著銷售單價的增大而增大?
(3)雅安地震牽動億萬人民的心,商家決定將商品一周的銷售利潤全部寄往災(zāi)區(qū),在商家購進該商品的貨款不超過10000元情況下,請你求出該商家最大捐款數(shù)額是多少元?
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