Question

【題目】閱讀下列材料，并完成任務(wù)．

三角形的外心

定義：三角形三邊的垂直平分線(xiàn)相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的外心．

如圖1，直線(xiàn)l1，l2，l3分別是邊AB，BC，AC的垂直平分線(xiàn)．

求證：直線(xiàn)l1，l2，l3相交于一點(diǎn)．

證明：如圖2，設(shè)l1，l2相交于點(diǎn)O，分別連接OA，OB，OC

∵l1是AB的垂直平分線(xiàn)，

∴OA＝OB，（依據(jù)1）

∵l2是BC的垂直平分線(xiàn)，

∴OB＝OC，

∴OA＝OC，（依據(jù)2）

∵l3是AC的垂直平分線(xiàn)，

∴點(diǎn)O在l3上，（依據(jù)3）

∴直線(xiàn)l1，l2，l3相交于一點(diǎn)．

（1）上述證明過(guò)程中的“依據(jù)1”“依據(jù)2”“依據(jù)3”分別指什么？

（2）如圖3，直線(xiàn)l1，l2分別是AB，AC的垂直平分線(xiàn)，直線(xiàn)l1，l2相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O是△ABC的外心，l1交BC于點(diǎn)N，l2交BC于點(diǎn)N，分別連接AM、AN、OA、OB、OC．若OA＝6cm，△OBC的周長(zhǎng)為22cm，求△AMN的周長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）依據(jù)1：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)與這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；依據(jù)2：等量代換；依據(jù)3：與一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上；（2）△AMN的周長(zhǎng)為10cm．

【解析】

（1）此題實(shí)際上是證得點(diǎn)在上，所以利用線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)進(jìn)行推理論證的；

（2）由線(xiàn)段的的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得到：，．同理，．所以，所以將的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為求得線(xiàn)段的長(zhǎng)度的問(wèn)題，根據(jù)的周長(zhǎng)的計(jì)算方法求得的長(zhǎng)度即可．

解：（1）依據(jù)1：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)與這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；

依據(jù)2：等量代換；

依據(jù)3：與一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上；

（2）如圖，∵直線(xiàn)l1是AB的的垂直平分線(xiàn)，

∴AM＝AB，OA＝OB．

∵直線(xiàn)l2是AC的的垂直平分線(xiàn)，

∴AN＝CN，OA＝OC．

∴OB＝OC＝OA＝6cm，△AMN的周長(zhǎng)＝AM+MN+AN＝BC，

∵△OBC的周長(zhǎng)為22cm，

∴BC＝22﹣（OB+OC）＝22﹣12＝10（cm），

∴△AMN的周長(zhǎng)為10cm．