Question

如圖1，正方形紙片ABCD的邊長為2，翻折∠B、∠D，使兩個(gè)直角的頂點(diǎn)重合于對(duì)角線BD上一點(diǎn)P，EF、GH分別是折痕（如圖2）．設(shè)AE=x（0＜x＜2），給出下列判斷：
①當(dāng)x=1時(shí)，點(diǎn)P是正方形ABCD的中心；
②當(dāng)x=

1

2

時(shí)，EF+GH＞AC；
③當(dāng)0＜x＜2時(shí)，六邊形AEFCHG面積的最大值是

11

4

；
④當(dāng)0＜x＜2時(shí)，六邊形AEFCHG周長的值不變．
其中正確的是

 

（寫出所有正確判斷的序號(hào)）．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）,正方形的性質(zhì)

專題：推理填空題

分析：（1）由正方形紙片ABCD，翻折∠B、∠D，使兩個(gè)直角的頂點(diǎn)重合于對(duì)角線BD上一點(diǎn)P，得出△BEF和△三DGH是等腰直角三角形，所以當(dāng)AE=1時(shí)，重合點(diǎn)P是BD的中點(diǎn)，即點(diǎn)P是正方形ABCD的中心；
（2）由△BEF∽△BAC，得出EF=

3

4

AC，同理得出GH=

1

4

AC，從而得出結(jié)論．
（3）由六邊形AEFCHG面積=正方形ABCD的面積-△EBF的面積-△GDH的面積．得出函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而求出最大值．
（4）六邊形AEFCHG周長=AE+EF+FC+CH+HG+AG=（AE+CH）+（FC+AG）+（EF+GH）求解．

解答：解：（1）正方形紙片ABCD，翻折∠B、∠D，使兩個(gè)直角的頂點(diǎn)重合于對(duì)角線BD上一點(diǎn)P，
∴△BEF和△DGH是等腰直角三角形，
∴當(dāng)AE=1時(shí)，重合點(diǎn)P是BD的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)P是正方形ABCD的中心；
故①結(jié)論正確，
（2）正方形紙片ABCD，翻折∠B、∠D，使兩個(gè)直角的頂點(diǎn)重合于對(duì)角線BD上一點(diǎn)P，
∴△BEF∽△BAC，
∵x=

1

2

，
∴BE=2-

1

2

=

3

2

，
∴

BE

BA

=

EF

AC

，即

3 2

2

=

EF

AC

，
∴EF=

3

4

AC，
同理，GH=

1

4

AC，
∴EF+GH=AC，
故②結(jié)論錯(cuò)誤，
（3）六邊形AEFCHG面積=正方形ABCD的面積-△EBF的面積-△GDH的面積．
∵AE=x，
∴六邊形AEFCHG面積=2²-

1

2

BE•BF-

1

2

GD•HD=4-

1

2

×（2-x）•（2-x）-

1

2

x•x=-x²+2x+2=-（x-1）²+3，
∴六邊形AEFCHG面積的最大值是3，
故③結(jié)論錯(cuò)誤，
（4）當(dāng)0＜x＜2時(shí)，
∵EF+GH=AC，
六邊形AEFCHG周長=AE+EF+FC+CH+HG+AG=（AE+CH）+（FC+AG）+（EF+GH）=2+2+2

2

=4+2

2

故六邊形AEFCHG周長的值不變，
故④結(jié)論正確．
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng)：考查了翻折變換（折疊問題），菱形的性質(zhì)，本題關(guān)鍵是得到EF+GH=AC，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．