Question

8．如圖，一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象交于A、B兩點，與x軸交于點C，與y軸交于點D，已知OA=$\sqrt{10}$，tan∠AOC=$\frac{1}{3}$，點B的坐標為（m，-2）．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）求△AOB的面積．

Answer 1

分析 （1）過A作AE⊥X軸于E，由tan∠AOE=$\frac{1}{3}$，得到OE=3AE，根據(jù)勾股定理即可求出AE和OE的長，即得到A的坐標，代入雙曲線即可求出k的值，得到解析式；把B的坐標代入反比例函數(shù)的解析式即可求出B的坐標，把A和B的坐標代入一次函數(shù)的解析式即可求出a、b的值，即得到答案；
（2）求出C的坐標，根據(jù)S_△AOB=S_△BOC+S_△AOC列式即可

解答 解：（1）過A作AE⊥x軸于E，過點B作BF⊥x軸于點F，

∵tan∠AOE=$\frac{1}{3}$，
∴OE=3AE，
∵OA=$\sqrt{10}$，
∴由勾股定理得：OE²+AE²=10，
解得：AE=1，OE=3，
∴A的坐標為（3，1），
∵A點在雙曲線上，
∴1=$\frac{k}{3}$，解得：k=3，
∴雙曲線的解析式y(tǒng)=$\frac{3}{x}$．
∵B（m，-2）在雙曲y=$\frac{3}{x}$，
∴-2=$\frac{3}{m}$，解得：m=-$\frac{3}{2}$，
∴B的坐標是（-$\frac{3}{2}$，-2），
代入一次函數(shù)的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{3a+b=1}\\{-\frac{3}{2}a+b=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{3}}\\{b=-1}\end{array}\right.$．
故一次函數(shù)的解析式為：y=$\frac{2}{3}$x-1；

（2）在y=$\frac{2}{3}$x-1中，當y=0時，x=$\frac{3}{2}$，
故點C坐標為（$\frac{3}{2}$，0），
∴S_△AOB=S_△BOC+S_△AOC
=$\frac{1}{2}$×OC×BF+$\frac{1}{2}$×OC×AE
=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×2+$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×1
=$\frac{9}{4}$．

點評 本題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，三角形的面積，用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，用待定系數(shù)法求正比例函數(shù)的解析式，勾股定理等知識點，綜合運用這些知識進行計算是解此題的關(guān)鍵．