【題目】如圖1,平行四邊形ABCD中,AB⊥AC,AB=3,AD=5,點P在邊AD上運動,以P為圓心,PA為半徑的⊙P與對角線AC交于A,E兩點.
(1)如圖2,當⊙P與邊CD相切于點F時,求AP的長;
(2)不難發(fā)現,當⊙P與邊CD相切時,⊙P與平行四邊形ABCD的邊有三個公共點,隨著AP的變化,⊙P與平行四邊形ABCD的邊的公共點的個數也在變化,若公共點的個數為4,直接寫出相對應的AP的值的取值范圍.
【答案】(1)AP=;(2)<AP<或AP=2.5
【解析】
(1)如下圖,連接PF,先在Rt△ABC中,求得AC的長,然后根據平行四邊形的性質,推導出△DPF∽△DAC,根據相似三角形邊長關系得出AP的長 ;
(2)存在2種情況,一種是點P在移動過程中,先與CD相切,然后點P繼續(xù)向右移動,與BC相切,AP的長在這兩個臨界點之間;另一種情況是圓剛好過A、C、D三點時,也符合題意.
解:(1)如下圖所示,連接PF,
在Rt△ABC中,由勾股定理得:AC==4,
設AP=x,則DP=10﹣x,PF=x,
∵⊙P與邊CD相切于點F,
∴PF⊥CD,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AB∥CD,
∵AB⊥AC,
∴AC⊥CD,
∴AC∥PF,
∴△DPF∽△DAC,
∴,
∴,
∴x=,AP=;
(2)當⊙P與BC相切時,設切點為G,圖形如下,
SABCD==5PG,
PG=,
①當⊙P與邊AD、CD分別有兩個公共點時,<AP<,即此時⊙P與平行四邊形ABCD的邊的公共點的個數為4,
②⊙P過點A、C、D三點.,圖形如下,⊙P與平行四邊形ABCD的邊的公共點的個數為4,
此時AP=2.5,
綜上所述,AP的值的取值范圍是:<AP<或AP=2.5.
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【題目】(問題解決)
一節(jié)數學課上,老師提出了這樣一個問題:如圖1,點P是正方形ABCD內一點,PA=1,PB=2,PC=3.你能求出∠APB的度數嗎?
小明通過觀察、分析、思考,形成了如下思路:
思路一:將△BPC繞點B逆時針旋轉90°,得到△BP′A,連接PP′,求出∠APB的度數;
思路二:將△APB繞點B順時針旋轉90°,得到△CP'B,連接PP′,求出∠APB的度數.
請參考小明的思路,任選一種寫出完整的解答過程.
(類比探究)
如圖2,若點P是正方形ABCD外一點,PA=3,PB=1,PC=,求∠APB的度數.
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【題目】“推進全科閱讀,培育時代新人”.某學校為了更好地開展學生讀書活動,隨機調查了九年級50名學生最近一周的讀書時間,統(tǒng)計數據如下表:
時間(小時) | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
人數 | 5 | 8 | 12 | 15 | 10 |
(1)根據上述表格補全下面的條形統(tǒng)計圖;
(2)寫出這50名學生讀書時間的眾數、中位數、平均數;
(3)若該校有1000名學生,求最近一周的讀書時間不少于7小時的人數?
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【題目】已知函數,其中,當時,;當時,;
(1)根據給定的條件,則_________,____________.
(2)在給出的平面直角坐標系中,畫出函數圖像;
(3)①結合所畫的圖像,直接寫出方程的解,解為________________.(精確到十分位)
②若一次函數的圖像與的圖像有且只有三個交點,則的取值范圍是__________.
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【題目】如圖,扇形AOB的圓心角為直角,邊長為1的正方形ODCF的頂點F,D,C分別在OA,OB,上,過點B作BE⊥FC,交FC的延長線于點E,則圖中陰影部分的面積等于__.
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【題目】如圖,在△ABC中,tan∠BACtan∠ABC=1,⊙O經過A、B兩點,分別交AC、BC于D、E兩點,若DE=10,AB=24,則⊙O的半徑為____.
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【題目】學校某數學興趣小組想測學校旗桿高度如圖,明明在稻香園一樓點測得旗桿頂點仰角為,在稻香園二樓點測得點的仰角為.明明從點朝旗桿方向步行米到點,沿坡度的臺階走到點,再向前走米到旗桿底部,已知稻香園高度為米,則旗桿的高度約為( )(參考數據:,,)
A.米B.米C.米D.米
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【題目】在△ABC與△ABD中,∠DBA=∠CAB,AC與BD交于點F
(1)如圖1,若∠DAF=∠CBF,求證:AD=BC;
(2)如圖2,∠D=135°,∠C=45°,AD=2,AC=4,求BD的長.
(3)如圖3,若∠DBA=18°,∠D=108°,∠C=72°,AD=1,直接寫出DB的長.
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【題目】已知拋物線y=﹣x2+bx+c經過點A(4,3),頂點為B,對稱軸是直線x=2.
(1)求拋物線的函數表達式和頂點B的坐標;
(2)如圖1,拋物線與y軸交于點C,連接AC,過A作AD⊥x軸于點D,E是線段AC上的動點(點E不與A,C兩點重合);
(i)若直線BE將四邊形ACOD分成面積比為1:3的兩部分,求點E的坐標;
(ii)如圖2,連接DE,作矩形DEFG,在點E的運動過程中,是否存在點G落在y軸上的同時點F恰好落在拋物線上?若存在,求出此時AE的長;若不存在,請說明理由.
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