Question

18．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=120cm，∠C=30°，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以8cm/s的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以4cm/s的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t 秒（0＜t≤15）．過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE，EF．
（1）求證：AE=DF；
（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△DEF為直角三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)時(shí)間和速度表示出AE和CD的長(zhǎng)，利用30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出DF的長(zhǎng)為4t，則AE=DF；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可以證明四邊形AEFD為平行四邊形，如果四邊形AEFD能夠成為菱形，則必有鄰邊相等，則AE=AD，列方程求出即可；
（3）當(dāng)△DEF為直角三角形時(shí)，有三種情況：①當(dāng)∠EDF=90°時(shí)，如圖3，②當(dāng)∠DEF=90°時(shí)，如圖4，
③當(dāng)∠DFE=90°不成立；分別找一等量關(guān)系列方程可以求出t的值．

解答 證明：（1）由題意得：AE=4t，CD=8t，
∵DF⊥BC，
∴∠CFD=90°，
∵∠C=30°，
∴DF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$×8t=4t，
∴AE=DF；
（2）四邊形AEFD能夠成為菱形，理由是：
由（1）得：AE=DF，
∵∠DFC=∠B=90°，
∴AE∥DF，
∴四邊形AEFD為平行四邊形，
若?AEFD為菱形，則AE=AD，
∵AC=120，CD=8t，
∴AD=120-8t，
∴4t=120-8t，
t=10，
∴當(dāng)t=10時(shí)，四邊形AEFD能夠成為菱形；
（3）分三種情況：
①當(dāng)∠EDF=90°時(shí)，如圖3，
則四邊形DFBE為矩形，
∴DF=BE=4t，
∵AB=$\frac{1}{2}$AC=60，AE=4t，
∴4t=60-4t，
t=$\frac{15}{2}$，
②當(dāng)∠DEF=90°時(shí)，如圖4，
∵四邊形AEFD為平行四邊形，
∴EF∥AD，
∴∠ADE=∠DEF=90°，
在Rt△ADE中，∠A=60°，AE=4t，
∴AD=2t，
∴AC=AD+CD，
則120=2t+8t，
t=12，
③當(dāng)∠DFE=90°不成立；
綜上所述：當(dāng)t為$\frac{15}{2}$或12時(shí)，△DEF為直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形的綜合題，考查了平行四邊形、菱形、矩形的性質(zhì)和判定，也是運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題，難度不大，是常出題型；首先要表示出兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)在時(shí)間t時(shí)的路程，弄清動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑，再根據(jù)其運(yùn)動(dòng)所形成的特殊圖形列式計(jì)算；同時(shí)，所構(gòu)成的直角三角形因?yàn)橹苯琼旤c(diǎn)不確定，所以要分情況進(jìn)行討論．