Question

如圖，在△ABC和△DCE中，BC=AC，DC=CE，∠ACB=∠DCE=90°，且AB，BD，DE，EA的中點(diǎn)分別是點(diǎn)M，N，P，Q．求證：四邊形MNPQ是菱形．

Answer 1

考點(diǎn)：中點(diǎn)四邊形

專(zhuān)題：證明題

分析：首先連接AC，BD，利用三角形的中位線定理證得四邊形MNPQ是平行四邊形，然后證得△BCE≌△ACD后證得MN=NQ，利用鄰邊相等的平行四邊形是菱形判定結(jié)論即可．

解答：證明：連接AC，BD，
∵AB，BD，DE，EA的中點(diǎn)分別是點(diǎn)M，N，P，Q，
∴MN∥AD，PQ∥AD，MQ∥BE，NP∥BE，MN=

1

2

AD，MQ=

1

2

BE
∴MN∥PQ，MQ∥NP，
∴四邊形MNPQ是平行四邊形，
在△BCE和△ACD中，

BC=AC ∠BCE=∠ACD DC=CE

，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE=AD，
∴MN=NQ，
∴平行四邊形MNPQ是菱形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了中點(diǎn)四邊形的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確的構(gòu)造輔助線和了解菱形的判定定理，難度中等．