Question

如圖，以等腰△ABC的腰AB為⊙O的直徑交底邊BC于D，DE⊥AC于E．
求證：
（1）DB=DC；
（2）DE為⊙O的切線．

Answer 1

證明：（1）連接AD．
∵AB為⊙O的直徑，
∴AD⊥BC，
又AB=AC，
∴BD=CD；

（2）連接OD．
∵OA=OB，BD=CD，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
又DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE為⊙O的切線．
分析：（1）連接AD．根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，得到AD⊥BC，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質即可證明；
（2）連接OD，根據(jù)三角形的中位線定理得到OD∥AC，結合DE⊥AC得到OD⊥DE，從而證明結論．
點評：此題綜合運用了圓周角定理的推論，即直徑所對的圓周角是直角；等腰三角形的性質，即等腰三角形底邊上的高也是底邊上的中線；三角形的中位線定理以及平行線的性質；切線的判定，即經(jīng)過半徑的外端，且垂直于半徑的直線是圓的切線．
注意：構造直徑所對的圓周角和連接過切點的半徑是圓中常見的輔助線之一．