Question

6．如圖，邊長(zhǎng)為8的正方形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)P是拋物線上點(diǎn)A，C間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P作PF⊥BC于點(diǎn)F，點(diǎn)D，E的坐標(biāo)分別為（0，6），（-4，0），連接PD，PE，DE．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若d=|PD-PF|．請(qǐng)說(shuō)明d是否為定值？若是定值，請(qǐng)求出其大�。蝗舨皇嵌ㄖ�，請(qǐng)說(shuō)明其變化規(guī)律？
（3）求出△PDE周長(zhǎng)取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可；
（2）首先表示出P，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)之間距離公式得出PD，PF的長(zhǎng)，進(jìn)而求出即可；
（3）過(guò)E作EF⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)P，求得C_△PDE=ED+PE+PD=ED+PE+PF+2=ED+2+（PE+PF），當(dāng)P、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，PE+PF最�。划�(dāng)P與A重合時(shí)，PE+PF最大；即可解答．

解答 解：（1）∵邊長(zhǎng)為8的正方形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，
∴C（0，8），A（-8，0），
設(shè)拋物線解析式為：y=ax²+c，
則$\left\{\begin{array}{l}{c=8}\\{64a+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{8}}\\{c=8}\end{array}\right.$
∴拋物線解析式為$y=-\frac{1}{8}{x^2}+8$．
（2）設(shè)P（x，-$\frac{1}{8}$x²+8），則F（x，8），
則PF=8-（-$\frac{1}{8}$x²+8）=$\frac{1}{8}$x²．
PD²=x²+[6-（-$\frac{1}{8}$x²+8）]²=$\frac{1}{64}{x^4}+\frac{1}{2}{x^2}+4={（\frac{1}{8}{x^2}+2）^2}$
∴PD=$\frac{1}{8}{x^2}+2$，
∴d=|PD-PF|=$|{\frac{1}{8}{x^2}+2-\frac{1}{8}{x^2}}|$=2
∴d=|PD-PF|為定值2；
（3）如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)P，

由d=|PD-PF|為定值2，
得C_△PDE=ED+PE+PD=ED+PE+PF+2=ED+2+（PE+PF），
又∵D（0，6），E（-4，0）
∴$DE=\sqrt{{6^2}+{4^2}}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$
∴${C_{△PDE}}=2\sqrt{13}+2+（PE+PF）$，
當(dāng)PE和PF在同一直線時(shí)PE+PF最小，
得C_△PDE最小值$2\sqrt{13}+2+8=2\sqrt{13}+10$．
設(shè)P為拋物線AC上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，過(guò)P作PM∥x軸，交AB于點(diǎn)M，連接ME，如圖2．

由于E是AO的中點(diǎn)，易證得ME≥PE（當(dāng)點(diǎn)P接近點(diǎn)A時(shí)，在△PME中，顯然∠MPE是鈍角，故ME≥PE，與A重合時(shí)，等號(hào)成立），而ME≤AE+AM，
所以PE≤AE+AM．
所以當(dāng)P與A重合時(shí)，PE+PF最大，
AE=8-4=4，PD=$\sqrt{A{O}^{2}+D{O}^{2}}=\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10．
得C_△PDE最大值=2$\sqrt{13}$+4+10=$2\sqrt{13}+14$．
∴$2\sqrt{13}+10≤{C_{△PDE}}≤2\sqrt{13}+14$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及兩點(diǎn)距離公式以及配方法求二次函數(shù)最值等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合得出符合題意的答案是解題關(guān)鍵．