Question

15．若正數(shù)a、b滿足$\frac{{a}^{2}}{{a}^{4}+{a}^{2}+1}$=$\frac{1}{24}$，$\frac{^{3}}{^{6}+^{3}+1}$=$\frac{1}{19}$，則$\frac{ab}{（{a}^{2}+a+1）（^{2}+b+1）}$=（　　）

• A． 24
• B． 18
• C． $\frac{1}{18}$
• D． $\frac{1}{24}$

Answer 1

分析 利用倒數(shù)法先求出a+$\frac{1}{a}$，b+$\frac{1}$，由此即可解決問題．

解答 解：∵$\frac{{a}^{2}}{{a}^{4}+{a}^{2}+1}$=$\frac{1}{24}$，$\frac{^{3}}{^{6}+^{3}+1}$=$\frac{1}{19}$，
∴a²+1+$\frac{1}{{a}^{2}}$=24，b³+$\frac{1}{^{3}}$+1=19，
∴（a+$\frac{1}{a}$）²=25，
∵a+$\frac{1}{a}$＞0，
∴a+$\frac{1}{a}$=5，
（b+$\frac{1}$）³-3（b+$\frac{1}$）-18=0，
∴（b+$\frac{1}$-3）[（b+$\frac{1}$）²+3（b+$\frac{1}$）+6]=0，
∴b+$\frac{1}$=3．
∴原式=$\frac{1}{（a+1+\frac{1}{a}）（b+1+\frac{1}）}$=$\frac{1}{6×4}$=$\frac{1}{24}$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分式的化簡(jiǎn)求值、解題的關(guān)鍵是利用倒數(shù)法求出a+$\frac{1}{a}$，b+$\frac{1}$的值，學(xué)會(huì)整體代入的思想解決問題，題目比較難，所以中考選擇題中的壓軸題．