Question

拋物線y=

1

2

x²-x-4與x軸交于A、B兩點，P為直線y=kx+4k（k＞0）上的動點，若使△ABP為直角三角形的點P有且只有三個，則k=

 

．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：

分析：可先求得A、B的坐標，當使△ABP為直角三角形的點P有且只有三個時可知直線y=kx+4k與以AB為直徑的圓相切，可求得k值．

解答：解：在拋物線y=

1

2

x²-x-4中令y=0，可得

1

2

x²-x-4=0，解得x=-2或x=4，
故A、B兩點的坐標為（-2，0）和（4，0），
如圖，以AB為直徑畫圓C，則當直線與圓相離時，滿足條件的P點有兩個，當直線與圓相交時，滿足條件的P點有4個，
故使△ABP為直角三角形的點P有且只有三個時，直線與圓相切，
設切點為P，直線與x軸、y軸分別交與點D、E，連接CP，
在y=kx+4k中令y=0，可求得x=-4，
∴OD=4，且OC=1，
∴CD=5，在Rt△CDP中，PC=3，可求得PD=4，
又∵∠PDO=∠PDO，∠POD=∠DPC，
∴△EDO∽△CDP，
∴

OD

PD

=

PC

OE

，即

4

4

=

5

OE

，
解得OE=5，即E點坐標為（0，4），
∴4k=4，
解得k=1．
故答案為：1．

點評：本題主要考查函數(shù)與坐標軸的交點，確定出滿足條件的直線所在的位置是解題的關鍵，注意相似三角形的判定和性質(zhì)的利用．