Question

9．在學習二次根式時，發(fā)現(xiàn)一些含有根號的式子可以化成另一式子的平方，如：$5+2\sqrt{6}=（2+3）+2\sqrt{2×3}={（\sqrt{2}）^2}+{（\sqrt{3}）^2}+2\sqrt{2}•\sqrt{3}={（\sqrt{2}+\sqrt{3}）^2}$$8-2\sqrt{15}=（5+3）-2\sqrt{5×3}={（\sqrt{5}）^2}+{（\sqrt{3}）^2}-2\sqrt{5}×\sqrt{3}={（\sqrt{5}-\sqrt{3}）^2}$
（1）請你按照上述方法將$10+2\sqrt{21}$化成一個式子的平方．
（2）將下列等式補充完整$a+b-2\sqrt{ab}$=（$\sqrt{a}$-$\sqrt$）²（a≥0  b≥0），并證明這個等式．
（3）若$a+2\sqrt{15}={（\sqrt{m}+\sqrt{n}）^2}$且a、m、n均為正整數(shù)，則a=8或16．

Answer 1

分析 （1）利用題中的方法，把10分成7與3的和，把21分成7與3的積，然后利用完全平方公式寫成平方式即可；
（2）把a和b寫成（$\sqrt{a}$）²與（$\sqrt$）²，然后利用完全平方公式寫成平方式即可；
（3）利用完全平方公式把等式右邊展開，則m+n=a，mn=15，然后利用有理數(shù)的整除性確定m和n的值，再計算對應(yīng)的a的值．

解答 解：（1）10+2$\sqrt{21}$=7+2$\sqrt{21}$+3=（$\sqrt{7}$）²+2$\sqrt{7}$•$\sqrt{3}$+（$\sqrt{3}$）²=（$\sqrt{7}$+$\sqrt{3}$）²；
（2）$a+b-2\sqrt{ab}$=（$\sqrt{a}$-$\sqrt$）²；
證明如下：$a+b-2\sqrt{ab}$=（$\sqrt{a}$）²+（$\sqrt$）²-2$\sqrt{a}$•$\sqrt$=（$\sqrt{a}$-$\sqrt$）²；
（3）∵$a+2\sqrt{15}={（\sqrt{m}+\sqrt{n}）^2}$，
∴a+2$\sqrt{15}$=m+2$\sqrt{mn}$+n，
∴m+n=a，mn=15，
而a、m、n均為正整數(shù)，
∴m與n的值為3和5或1和15，
∴a的值為8或16．
故答案為（$\sqrt{a}$-$\sqrt$）²；8或16．

點評 本題考查了二次根式的計算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再進行二次根式的乘除運算，然后合并同類二次根式．在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．