Question

【題目】邊長(zhǎng)為2的正方形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點(diǎn)D是邊OA的中點(diǎn)，連接CD，點(diǎn)E在第一象限，且DE⊥DC，DE＝DC．以直線AB為對(duì)稱軸的拋物線過(guò)C，E兩點(diǎn)．點(diǎn)M為直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)M，N，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為___________．

Answer 1

【答案】（2，）或（0，2）或（2，1）

【解析】

分三種情況討論：N在拋物線頂點(diǎn)處；N在拋物線對(duì)稱軸左側(cè)；N在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)．

解：∵AB為拋物線的對(duì)稱軸，

∴設(shè)拋物線的解析式為，

∵正方形OABC邊長(zhǎng)為2

∴h=2，

∵經(jīng)過(guò)C（0，2）和E兩點(diǎn)，

過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，如圖1，

∵DE⊥DC，
∴∠CDO+∠EDF=90°，
∵∠CDO+∠OCD=90°，
∴∠OCD=∠EDF，
在△COD和△DFE中

∴△COD≌△DFE（AAS），
∴OD=EF，DF=CO，
∵CO=OA=2，D為OA中點(diǎn)，
∴EF=OD=DA=1，DF=OC=2，
∴E（3，1）；

∴C（0，2）和E（3，1）兩點(diǎn)代入，

得： ，解得：

∴拋物線的解析式為，

∴點(diǎn)N為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)M，N，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)可以分三種情況討論：

（1） N在拋物線頂點(diǎn)處時(shí)，如圖2所示，

此時(shí)，N點(diǎn)就是拋物線的頂點(diǎn)（2，）；

（2）當(dāng)N在拋物線對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，

過(guò)點(diǎn)C作CM∥DE交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)M，連接ME，如圖3，

∵CM∥DE，DE⊥CD，
∴CM⊥CD，
∵OC⊥CB，
∴∠OCD=∠BCM，
在△OCD和△BCM中

∴△OCD≌△BCM（ASA），
∴CM=CD=DE，BM=OD=1，
∴CDEM是平行四邊形，
即N點(diǎn)與C占重合，

∴N（0，2），

（3）N在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，

N點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)，MN∥DE，如圖4，

作NG⊥BA于點(diǎn)，延長(zhǎng)DM交BN于點(diǎn)H，
∵MNED是平行四邊形，
∴∠MDE=MNE，∠ENH=∠DHB，
∵BN∥DF，
∴∠ADH=∠DHB=∠ENH，
∴∠MNB=∠EDF，
在△BMN和△FED中

∴△BMN≌△FED（AAS），
∴BM=EF=1，
BN=DF=2，
∴M（2，1），

綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為：（2，）或（0，2）或（2，1）