Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，點A關于對角線BD的對稱點F剛好落在腰DC上，連接AF交BD于點E，AF的延長線與BC的延長線交于點G，M，N分別是BG，DF的中點．

（1）求證：四邊形EMCN是矩形；

（2）若AD=2，S_梯形ABCD=，求矩形EMCN的長和寬．

Answer 1

考點：

直角梯形；矩形的判定與性質(zhì)

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得AD=DF，DE⊥AF，然后判斷出△ADF、△DEF是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠DAF=∠EDF=45°，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出∠BCE=45°，然后判斷出△BGE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得EM⊥BC，EN⊥CD，再根據(jù)矩形的判定證明即可；

（2）判斷出△BCD是等腰直角三角形，然后根據(jù)梯形的面積求出CD的長，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出DN，即可得解．

解答：

（1）證明：∵點A、F關于BD對稱，

∴AD=DF，DE⊥AF，

又∵AD⊥DC，

∴△ADF、△DEF是等腰直角三角形，

∴∠DAF=∠EDF=45°，

∵AD∥BC，

∴∠G=∠GAF=45°，

∴△BGE是等腰直角三角形，

∵M，N分別是BG，DF的中點，

∴EM⊥BC，EN⊥CD，

又∵AD∥BC，AD⊥DC，

∴BC⊥CD，

∴四邊形EMCN是矩形；

（2）解：由（1）可知，∠EDF=45°，BC⊥CD，

∴△BCD是等腰直角三角形，

∴BC=CD，

∴S_梯形ABCD=（AD+BC）•CD=（2+CD）•CD=，

即CD²+2CD﹣15=0，

解得CD=3，CD=﹣5（舍去），

∵△ADF、△DEF是等腰直角三角形，

∴DF=AD=2，

∵N是DF的中點，

∴EN=DN=DF=×2=1，

∴CN=CD﹣DN=3﹣1=2，

∴矩形EMCN的長和寬分別為2，1．

點評：

本題考查了直角梯形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，矩形的判定，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)判斷出相關的等腰直角三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．