Question

15．如圖，菱形ABCD，∠D=120°，E為菱形內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)EC、EB．再將EB繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°到FB，連結(jié)FA、EF，且EF交AB于點(diǎn)G．
（1）求證：AF=CE；
（2）若∠EBC=45°，求∠AGE的大小．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)菱形的性質(zhì)得出∠ABC=120°，AB=CB，再由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出EB=FB，根據(jù)SAS定理得出△AFB≌△CEB，由全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）先求出∠ABE的度數(shù)，再由等腰三角形的性質(zhì)求出∠GEB的度數(shù)，再由∠AGE=∠ABE+∠GEB即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∠D=120°，
∴∠ABC=120°，AB=CB．
又∵EB繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°到FB，
∴EB=FB，
∴∠FBA+∠ABE=∠ABE+∠EBC=120°，
∴∠FBA=∠EBC，
在△AFB與△CEB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}EB=FB\\∠EBC=∠FBA\\ BC=AB\end{array}\right.$，
∴△AFB≌△CEB（SAS），
∴AF=CE；

（2）∵∠ABC=120°，∠EBC=45°，
∴∠ABE=75°．
又∵∠EBF=120°，EB=FB，
∴∠GEB=$\frac{180°-120°}{2}$=30°，
∴∠AGE=∠ABE+∠GEB=75°+30°=105°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟知圖形旋轉(zhuǎn)后所得圖形與原圖形全等是解答此題的關(guān)鍵．