Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A,點D為邊AB的中點，DE∥BC交AC于點E，CF∥AB交DE的延長線于點F．

（1）求證：DE=EF；

（2）連接CD，過點D作DC的垂線交CF的延長線于點G，求證：∠B=∠A+∠DGC．

 

Answer 1

（1）DE=EF （2）∠B=∠A+∠DGC．

【解析】

試題分析：（1）因為點D為邊AB的中點，DE∥BC交AC于點E，故DE=BC，EF=DF-DE=BC-CB=CB，故DE=EF。

（2）因為DB∥CF，所以，∠ADG=∠G，又因為∠ACB=90°，D為邊AB的中點，所以，CD=DB=AD，所以，∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，因為DG⊥DC，所以∠DCA+∠1=90°，因為∠DCB+∠DCA=90°，所以∠1=∠DCB=∠B，因為∠A+∠ADG=∠1，所以∠B=∠A+∠DGC．

試題解析：

證明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB，

∴四邊形DBCF為平行四邊形， 1分

∴DF=BC，

∵D為邊AB的中點，DE∥BC，

∴DE=BC， 3分

∴EF=DF-DE=BC-CB=CB，

∴DE=EF； 5分

（2）∵DB∥CF，

∴∠ADG=∠G，

∵∠ACB=90°，D為邊AB的中點，

∴CD=DB=AD， 7分

∴∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，

∵DG⊥DC，

∴∠DCA+∠1=90°，

∵∠DCB+∠DCA=90°，

∴∠1=∠DCB=∠B， 9分

∵∠A+∠ADG=∠1，

∴∠A+∠G=∠B． 10分

考點：1．中位線性質(zhì)定理；2．平行線的性質(zhì)定理；3．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半